Quando estudantes se veem diante de uma função quadrática uma das
perguntas é "Onde vou usar isso?" Pois é... É interessante ler um
conjunto de postagens que escrevemos tentando responder à pergunta
"Professor, para que serve a Matemática em meu dia a dia?" Mas... E
falando especificamente da função quadrática? Onde podemos usar?
- Professor, para que serve a Matemática em meu dia a dia? [Parte 1]
- Professor, para que serve a Matemática em meu dia a dia? [Parte 2]
- Professor, para que serve a Matemática em meu dia a dia? [Parte 3]
Caso queira ir diretamente para as aplicações, basta descer no texto até a seção APLICAÇÕES.
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Entenda o que é neste vídeo de pouco mais de 1 min.
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Sugiro fortemente que veja os argumentos colocados lá. Sugiro também uma postagem escrita anterior a esta que explica como fazer o esboço do gráfico de funções quadráticas. É interessante saber fazer um rabisco rápido de como é a forma do gráfico da função que está olhando pra você.
Funções, de um modo geral, são usadas para modelar problemas, ou seja, transformar um problema que poderia ser real, em um problema matemático. Em muitos casos estamos interessados em pontos que produzem o maior valor, como no caso de querer saber o quanto produzir para que o lucro seja máximo, ou o menor valor, como, por exemplo, uma situação que envolva fazer com que o custo de produção seja mínimo. Se por acaso pudermos modelar o meu problema, que poderia ser real, usando uma função quadrática, então, poderemos resolver o problema com o que estudamos na escola. Olha que LeGaL...
Entretanto, devo advertir o leitor que estar, na vida real, diante de um problema desses é algo improvável. Entretanto, devo ressaltar que o que estudamos na escola não é, necessariamente, para usarmos em nosso cotidiano. Pode ser, em algum momento, utilizado, mas o que se estuda, não é para isso.
NESTA POSTAGEM eu converso um pouco com o leitor sobre a diferença entre usar em nosso dia a dia (nosso cotidiano) e ter aplicações. Na verdade, é comum que mostremos onde aquela ferramenta matemática pode ser usada para resolver algum problema, mas, esse problema, quase certamente, não será um problema de seu cotidiano.
NESTA POSTAGEM, por exemplo, mostramos como podemos calcular a largura de um rio ou lago estando apenas em uma das margens fazendo uso de uma trena e um teodolido (aparelho que dá para construirmos com coisas que se compra em papelaria)
São problemas que podem ser resolvidos com ferramentas matemáticas, ou seja, são aplicações, mas... É muito improvável que se depare com um problema desses em seu cotidiano, mas... Pode ser que sim... Vamos voltar ao que nos propomos. Mostrar algumas aplicações para função quadrática.
Antes disso, temos que relembrar algo que estudou na escola. A parábola tem um ponto importante que é chamado de vértice e este ponto é muito importante, pois ele é o ponto em que a imagem (o 'y') é máximo, entre todos os valores de 'x' (caso o coeficiente de $x^2$ seja negativo) ou o ponto que tem a menor imagem (o 'y') para todos os valores possíveis de 'x' (caso o coeficiente de $x^2$ seja negativo) e daí a importância deste ponto para otimização (encontrar máximos e mínimos).
Recorde como encontrar os pontos do vértice da parábola
A função quadrática tem como lei de associação $f(x)=ax^2+bx+c$ em que $a\neq 0$ Para a ilustração seguinte, considere que a função tenha o aspecto mostrado. Caso não tenha este aspecto, garanto que o que vamos fazer se aplica a todos os casos.
Onde as setas apontam, é onde estão as raízes da função quadrática, isto é, onde os pontos têm imagem zero. Também são chamados de zeros da função. Para encontrá-los, basta descobrir onde $y=ax^2+bx+c=0$. Para resolver esta equação, basta usara fórmula de resolução de equação quadrática (ela não foi descoberta por Bhaskara) $$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}.$$ O $x_v$ é o ponto médio entre $x_1$ e $x_2$. Você pode perceber isso lembrando que os arcos da parábola é simétrica em relação a $x_v$. Uma justificativa mais formal envolve Cálculo Diferencial, mas não vamos nos aprofundar. Assim $$x_v=\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}+\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}}{2}=\frac{\frac{-b-\sqrt{\Delta}-b+\sqrt{\Delta}}{2a}}{2}$$ Se cancelarmos $\sqrt{\Delta}$ ficaremos com $$x_v=\frac{x_1+x_2}{2}=\dots =\frac{\frac{-b-b}{2a}}{2}=\frac{-\frac{2b}{2a}}{2}=\frac{-\frac{b}{a}}{2}=-\frac{b}{2a}.$$ Olha que LeGaL... Temos agora temos como encontrar o valor de $x$ que vai produzir o valor mínimo ou o valor máximo da função. E... Qual seria este valor (mínimo ou máximo)? Na verdade, $y_v=f(x_v)$ ou seja, o y do vértice é a imagem, pela função quadrática, do x do vértice. Assim, $$f(x_v)=f\left(-\frac{b}{2a}\right)=a\left(-\frac{b}{2a}\right)^2+b\left(-\frac{b}{2a}\right)+c=a \frac{b^2}{(2a)^2}-\frac{b^2}{2a}+c= \frac{ab^2}{4a^2}-\frac{b^2}{2a}+c$$ Note que podemos simplificar 'a' na primeira parcela e assim obter $$y_v=\frac{b^2}{4a}-\frac{b^2}{2a}+c.$$ Agora, vamos fazer com que todos os denominadores fiquem sendo $4a$? Podemos fazer isso de diversas formas, mas uma delas é multiplicando numerador e denominador pelos termos apropriados. Assim, ficaremos com $$y_v=\frac{b^2}{4a}-\frac{b^2}{2a}+c=\frac{b^2}{4a}-\frac{\color{red}{2.}b^2}{\color{red}{2.}2a}+\frac{\color{blue}{4a}c}{\color{blue}{4a}}==\frac{b^2}{4a}-\frac{2b^2}{4a}+\frac{4ac}{4a}$$Agora, colocando sub um único denominador ficaremos com $$y_v=\frac{b^2-2b^2+4ac}{4a}=\frac{-b^2+4ac}{4a}$$Olha vejam só... Como $\Delta=b^2-4ac$ então $-\Delta=-b^2+4ac$ e deste modo, o numerador da fração acima é o $-\Delta$. Isso poderia ser obtido, também, colocando o sinal de $-$ em evidência. De qualquer modo ficamos com $$y_v=-\frac{\Delta}{4a}$$ e assim temos como encontrar, agora, o valor máximo ou o valor mínimo. E que venham os problemas para serem resolvidos, certo? Podemos resumir o que encontramos na imagem seguinte.
APLICAÇÕES
Situação 1: Considere que tenha ido passear em uma fazenda e chegando lá seu anfitrião mostra um pedaço de muro em sua propriedade e informa que comprou 100 metros de tela e que queria aproveitar o muro para fazer um cercado retangular para criação, mas, como ele se preocupa com os animais, queria que a área fosse a maior possível que ele conseguisse fazer com a tela que comprou, aproveitando o muro que já tem na propriedade. Conseguiu visualizar a situação problema?
Poderíamos pensar um rabisco como segue:
Não sabemos quanto deve medir as laterais do retângulo então, o lado menor, que chega até o muro, podemos chamar de 'x'. O outro lado menor, também tem a mesma medida, certo? Esses dois lados juntos já nos darão um comprimento $2x$. Quanto mede o terceiro lado? Bom, como a tela toda mede 100 m e já temos $2x$ usados, esse terceiro lado medirá $100-2x$. O que estamos fazendo aqui é matematizando o problema, ou seja, transformando o problema dado em um problema matemático. Ficaremos agora com o que está mostrado na figura seguinte.
E como podemos medir a área deste retângulo? Note que a área vai ser uma função, pois ela não é um número fixo. Dependerá de quanto medirá o lado de tamanho 'x'. De qualquer modo, podemos expressar a área como uma função que depende de 'x'. Uma vez que a área do retângulo é o produto da medida da base pela altura, podemos dizer que $$A(x)=x.(100-2x)\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\, A(x)=100x-4x^2$$Ora vejam só... Uma função quadrática... Se colocarmos ela na forma padrão $y=ax^2+bx+c$ obteremos $$A(x)=-4x^2+100x$$ou seja, temos uma equação do 2º grau em que $a=-4$, $b=100$ e $c=0$ (pois não aparece termos independentes). Agora,, faça um esboço do gráfico da função com estas características. Vimos como fazer este gráfico apenas olhando para 'a', 'b' e 'c' NESTA POSTAGEM. O gráfico
- cruza com o eixo Oy em $y=0$ porque $c=0$;
- cruza com o eixo Oy em na parte CRESCENTE da parábola, pois $b>0$;
- e tem a concavidade voltada para baixo.
Juntando todas estas informações, teremos um esboço de gráfico como o mostrado a seguir:
Hmmm... Então, temos uma situação em que a função admite um valor máximo, correto? Nesta representação, o eixo horizontal está com os valores de 'x' e o vertical está com a área 'A(x)'. O valor de 'x' que vai produzir a área máxima é $$x_v=-\frac{b}{2a}=-\frac{100}{2.2}=-\frac{100}{4}=25$$Então, $x=25$ é o valor que vai produzir o VALOR MÁXIMO. Assim, já dá para responder ao nosso amigo que para ele aproveitar o muro e construir um cercado retangular com área máxima, os dois lados menores devem ser de 25 metros e o lado maior de 50 metros. Pronto. Problema resolvido.
É um problema problema que pode acontecer? Penso que sim, mas devo reconhecer que é muito improvável. Entretanto, isso é uma APLICAÇÃO das funções quadráticas. Neste caso aqui foi usada para maximizar a área de um retângulo, aproveitando um muro já existente.
Se a pergunta fosse: qual a área máxima que podemos ter aproveitando o muro (mesmas hipóteses). Aí a resposta não seria o $x_v$ e sim o $y_v$. A área máxima seria $$-\frac{\Delta}{4a}=-\frac{b^2-4ac}{4a}=-\frac{100^2-4.2.0}{4.(-2)}=-\frac{10\,000-0}{-8}=\frac{10\,000}{8}=1250\,m^2$$Compare com a área quando $x=25$. O lado maior não mede $50$? Se multiplicar $25\times 50=1250\,m^2$. A mesma coisa, certo? Veja um resumo do que fizemos na seguinte imagem
Então, função quadrática serve, também para isso: maximizar cercado retangular para animais de criação. ;-)
Situação 2: Considere 'x' represente o número de unidades são produzidas a cada dia em uma fábrica, o custo total, em reais, da produção diária é igual a $C(x)=x^2 - 40x + 700$. Qual a quantidade que deve ser produzida por dia para que o CUSTO SEJA MÍNIMO?
Invocamos novamente o que estudamos NESTA POSTAGEM, com respeito a fazer esboço do gráfico de funções. Neste caso temos que $C(x)=x^2 - 40x + 700$ e assim, $a=1$, $b=-40$ e $c=700$ de onde podemos concluir que
- o gráfico cruza com o eixo Oy em $y=700$, pois $c=700$;
- o gráfico cruza com o eixo Oy na parte CRESCENTE da parábola, pois $b>0$;
- o gráfico tem a concavidade voltara para cima, pois $a>0$;
- como $\Delta=b^2-4ac=40^2-4.1.700=1600-2800=-1200<0$ o gráfico não toca o eixo Ox.
Com estas informações, podemos fazer um esboço do gráfico da função custo.
Observe como o esboço é de uma função que tem ponto de MÍNIMO. Ora, mas isso muito nos interessa, pois sendo 'x' o número de peças produzidas (eixo horizontal) e $C(x)$ o custo para produzir 'x' peças, nos interessa minimizar a função $C(x)$.
De sorte que sabemos encontrar o valor de 'x' que faz com que $C(x)$ seja mínimo. Basta encontrar $$x_v=-\frac{b}{2a}=-\frac{(-40)}{2.1}=\frac{40}{2}=20.$$ Assim, o número de peças que devem ser produzidas para que o custo seja mínimo é de 20 peças por dia. LeGaL, não é?
A pergunta poderia ser: qual será o custo mínimo de produção que podemos atingir diariamente. Neste caso o nosso interesse estaria em encontrar o $y_v$ e teríamos, como $\Delta=-1200$ (calculamos logo acima), $$y_v=-\frac{\Delta}{4a}=-\frac{(-1200)}{4.1}=\frac{1200}{4}=300\,\,\mbox{peças}.$$
Então, funções quadráticas também servem para encontrar custo mínimo de produção e quantidade de peças que devem ser produzidas de modo que o custo de produção seja mínimo.
E você vai usar isso em seu cotidiano? NÃO. Mas o que vê aqui é uma APLICAÇÃO. E praticamente para tudo que estuda na escola, TEM APLICAÇÃO. Essa aplicação você irá usar em seu cotidiano? Quase certamente NÃO. Por conta de não usar, necessariamente em seu cotidiano, o conteúdo que estuda se torna inútil? Creio que não. O que vê na escola é uma pitada do que a mente humana conseguiu produzir de conhecimento ao longo de muito tempo.
Tudo para o seu pet está AQUI.
Conclusão
Esse texto acabou ficando maior do que eu esperava, mas espero ter conseguido mostrar um pouco de onde podemos aplicar funções quadráticas.
Eu não cheguei a falar aqui, mas em lançamento de projéteis, normalmente estudados em Física, o que modela um lançamento vertical ou oblíquo (inclinado - como um canhão) é uma função quadrática (modelo para o movimento de subida e descida). Neste caso não só o vértice é importante. Podemos querer saber onde está um objeto depois de 'x' segundos de lançamento e quem responde a isso é uma função quadrática. Dá uma olhadela em Movimento Uniformemente Variado, lá do curso de física. ;-)
Abração pro 6.
Luís Cláudio LA
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