sábado, 21 de abril de 2018

Por que multiplica o numerador com o numerador e denominador com o denominador?

Por que multiplica o numerador com o numerador e denominador com o denominador?

Você sabe por que em multiplicação de frações se multiplica o numerador com o numerador e denominador com o denominador? Para entender isso, que tal ver uma ilustração usando o GeoGebra?

Caso queira ver a explicação sobre isso leia este artigo ou vá até o final para ver um vídeo onde falamos sobre multiplicação de frações.

Vamos aos fatos e vejamos se conseguimos entender. Se esforce para compreender.

Em primeiro lugar, lembre-se que uma fração faz referência a partes de mesmo tamanho. Por exemplo: se escrevemos $\cfrac{2}{3}$ estamos dizendo que de um total de três partes IGUAIS tomamos duas. Se escrevemos $\cfrac{2}{7}$ estamos dizendo o inteiro foi dividido em 7 partes IGUAIS e destas, tomamos duas.

Por que multiplica o numerador com o numerador e denominador com o denominador?

Pois bem, considere agora duas frações: $\cfrac{2}{5}$ e $\cfrac{3}{4}$ mostradas na figura seguinte.

Representação das frações 2/5 e 3/4, respectivamente.


O inteiro considerado aqui (para facilitar a compreensão) tem a forma de um quadrado, mas poderia ter qualquer qualquer outra (retângulo, disco, cubo, pirâmide etc). A fração $\frac{2}{5}$ representa duas partes IGUAIS de um total de 5 (em azul). Olhe o desenho anterior e certifique-se que entendeu isso. A outra fração (figura direita) representa 3 partes de um total de 4 (em amarelo).

A pergunta que deve entender é a seguinte: quanto é três quartos de dois quintos? Ou seja, quanto é $\cfrac{3}{4}$ de $\cfrac{2}{5}$? Coloque em sua mente que em matemática esse "de" representa depois de uma matematização, "vezes". A nossa pergunta então é: quanto é $\cfrac{3}{4}\times \cfrac{2}{5}$.

O que faremos para obter esse número? Vamos olhar apenas para a parte que está pintada em azul. Essa parte representa a fração $\cfrac{2}{5}$. Queremos marcar agora três quartos desta parte azul. Para isso, precisamos dividi-la (a azul) em quatro partes e dessas tomaremos três, correto?

Lembre-se do que já deve ter estudado nas aulas de Artes (ou Ciências Naturais): ao misturar as cores (pigmento) azul com amarelo o resultado é a cor verde. Vamos marcar com esta cor os $\cfrac{3}{4}$ da cor azul. Teremos algo como mostra a figura seguinte.

A parte verde representa 3/4 de 2/5 (que está azul).

Agora, note que a parte que está em verde representa três quartos da parte azul (que é dois quintos). Em símbolos matemáticos a parte verde representa $\cfrac{3}{4}\times \cfrac{2}{5}$.

Agora, qual é a parte do inteiro que é representado pela parte verde? Isto é,  o que está em verde é que parte do todo (o quadrado). Observe que agora as partes estão de tamanho diferentes. Precisamos fazer com que elas fiquem com o mesmo tamanho. Como fazer isso?

Simples, prolongue as divisas que estão sobre a parte verde e você agora terá o inteiro (o quadrado) dividido em partes iguais. Note  que o inteiro (o quadrado) ficou dividido em 20 partes (veja figura seguinte). O que está em verde corresponde, então, a 6 partes de um total de 20, ou seja, $\cfrac{6}{20}$.

A parte verde representa 6 partes de um total de 20.


Daí, $\cfrac{3}{4}\times \cfrac{2}{5}=\cfrac{6}{20}$.

Simples, não é? Entretanto, não podemos depender de figuras para determinar o produto. Qual pode ser então o procedimento para se obter a fração produto (resultado da multiplicação)? Repare que $\cfrac{3}{4}\times \cfrac{2}{5}=\cfrac{3\times 2}{4\times 5}=\cfrac{6}{20}$.

isto é, multiplicamos o numerador com o numerador e o denominador com o denominador. Experimente reproduzir essa ideia com outras frações e verá que o resultado será sempre obtido desta forma (produto entre os numeradores dividido pelo produto entre os denominadores).

Para ver várias outras ilustrações, no applet seguinte você pode arrastar qualquer dos pontos formando novas frações. Feito isso, arraste o ponto AZUL levando o desenho da direita para junto do que está à esquerda, ou seja, arraste a bola azul que está no canto esquerdo superior do quadrado que aparece do lado direito e sobreponha as figuras. Assim visualizará para várias situações o que discutimos.

Para modificar as frações envolvidas, arraste os pontos que estão com os números logo acima.

O produto de frações é a parte pintada da primeira fração que está sobre a parte pintada da segunda, ou seja, é a interseção entre as duas partes pintadas.

Obs.: para que veja o resultado da multiplicação, clique na caixa SOLUÇÃO.

Abrir applet

Este recurso foi construído originalmente por Markus Hohenwarter e editado por Luís Cláudio LA.

Viu como é simples? Note que não foi por definição que chegamos ao fato que para multiplicar frações devemos multiplicar numerador com numerador e denominador com denominador. Isto é um fato que primeiro foi observado e depois se pensou em uma forma rápida de se chegar até o resultado sem precisar usar figuras.

Entretanto, se for adicionar duas frações, verá que não se pode adicionar numeradores e denominadores. Há um porquê também, mas isso ficará para um outro artigo.

Você pode deixar seus comentários/dúvidas etc. no campo a seguir e também ver um vídeo onde explico sobre esse assunto logo a seguir.


Espero que tenha sido útil.

Um grande abraço
Luís Cláudio LA

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