A Matemática das colmeias

Os favos construídos pelas abelhas são semelhantes a prismas hexagonais regulares. O que essa forma tem de especial?

Nesse artigo vamos discutir o motivo pelo qual as abelhas "escolheram" (por assim dizer) que os favos em suas colmeias tivessem o formato de um hexágono.

Já encontraram algum favo com o formato de quadrados, triângulos ou algum outro polígono? Que tal uma circunferência? Faz sentido? De alguma forma a natureza levou as abelhas a "escolherem" o formato de um hexágono.

Assista vídeo sobre a Geometria das abelhas.

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Alguns fatos

Os polígonos devem ser encaixantes e não é qualquer um que tem essa propriedade. Há apenas três que podem ser encaixados: o triângulo equilátero, o quadrado e o hexágono regular (podemos discutir o porquê em um outro post).

A quantidade de cera que deverá usar em cada caso deverá ser a mesma para que possamos comparar o motivo pelo qual uma forma geométrica é melhor que a outra. Sendo assim, suporemos que a quantidade de cera é suficiente para construir uma "parede" de comprimento "a".

Consideraremos o favo aberto na tampa e no fundo e que cada um dos favos são construídos sem aproveitar as paredes de outro já construídos. Não faremos essa análise aqui. Apenas procuraremos quais dos prismas com mesmo perímetro da base tem maior capacidade.

Verá que para entender esse simples problema vindo da natureza é necessário entender sobre vários conceitos matemáticos. Isso não é algo que você irá usar em seu dia a dia, mas com certeza mostra a matemática como ferramenta para entender um fenômeno natural.

Bom, vamos aos cálculos. A seguir há um applet que deverá ser possível observar através de uma ILUSTRAÇÃO que para polígonos onde o número de lados é maior que 7, não é possível encaixá-los; para aquele de número de lados igual a 5, note que também não é possível encaixá-los, mas é possível com aqueles cujo número de lados são iguais a 3, 4 ou 6 lados.

Applet: Polígonos encaixantes.
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Suponhamos que "a" seja o comprimento da parede do favo que é possível fazer certa quantidade de cera. Veremos em cada caso qual é a área da região cercada por essas paredes. Entenda o modelo matemático que criaremos. A ideia é analisar os três casos (triângulo equilátero, quadrado e hexágono).

Observe a ILUSTRAÇÃO seguinte mostra o que iremos analisar. Observe como a partir de um mesmo comprimento iremos construir um triângulo equilátero, um quadrado e um hexágono regular. Observe com calma.

Applet: Polígonos com mesmo perímetro e áreas diferentes.
Abrir applet

Vamos agora analisar cada caso.

Análise do triângulo equilátero

Para o triângulo equilátero, a medida de cada lado será $\cfrac{a}{3}$ onde "a", só lembrando, é o comprimento que temos disponível. Para encontrar essa área você deve saber calcular área de um triângulo, conteúdo estudado na escola.

No caso do triângulo equilátero, suponha que "L" seja uma medida qualquer. Então estaremos com um triângulo ABC como o mostrado na figura seguinte onde H é o pé da altura relativa ao lado AB. Outro fato estudado na escola é que a altura do triângulo equilátero é também bissetriz, mediana e mediatriz. Observe a figura seguinte:

É sabido (também estudado na escola) que a área do um triângulo qualquer é

$$Area=\cfrac{\mbox{base}\times \mbox{altura}}{2}$$

A medida da base é a distãncia entre os pontos A e B, que no caso mede "L". O que não temos aqui é a medida da altura, que está representado por "h" na figura anterior. Para descobrir "h" você precisa de outro assunto estudado também na escola: teorema de Pitágoras. Esse teorema diz que

"o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos"

Lembre-se que chamamos de CATETOS aqueles lados que ajudam a formar o ângulo reto (de 90 graus) e a HIPOTENUSA é aquela lado maior que não ajuda a formar esse ângulo reto. Pois bem, olhando para o desenho anterior pode observar que a medida da hipotenusa é "L", um dos catetos mede "$\cfrac{L}{2}$ e o outro cateto mede "h", que queremos descobrir. Por conta do Teorema de Pitágoras, sabe-se que

$$L^2=\left(\frac{L}{2}\right)^2+h^2$$

Não se esqueça que queremos saber qual é a medida de "h" em função da medida "L". Vamos resolver a equação anterior em relação a "h". Ficaremos com

$$L^2=\left(\frac{L}{2}\right)^2+h^2\Rightarrow \left(\frac{L}{2}\right)^2+h^2=L^2$$

Veja que apenas escrevi a igualdade da direita para a esquerda. Sendo assim, elevando L/2 ao quadrado encontraremos $L^2/4$ e assim,

$$\frac{L^2}{4}+h^2=L^2\Rightarrow h^2=L^2-\frac{L^2}{4}$$

Agora, adicionando os monômios que apareceram no segundo membro ficaremos com (lembre-se que é necessário encontrar o mínimo múltiplo comum (MMC) para adicionar frações):

$$ h^2=\frac{4L^2-L^1}{4}\Rightarrow h^2=\frac{3L^2}{4}$$

Extraindo a raiz quadrada em ambos os membros (pois h>0) ficaremos com

$$h=\sqrt{\frac{3L^2}{4}}=\frac{\sqrt{3L^2}}{\sqrt{4}}=\frac{\sqrt{3}\sqrt{L^2}}{2}$$

Como $L>0$, $\sqrt{L^2}=L$ e assim,

$${h=\frac{\sqrt{3}L}{2}=\frac{L.\sqrt{3}}{2}}$$

Assim, já podemos escrever a medida da área do triângulo equilátero. Observe:

$$Area=\frac{base \times altura}{2}=\frac{1}{2}\cdot L\cdot {h}= \frac{1}{2}\cdot L\cdot {\frac{L.\sqrt{3}}{2}}=\frac{L^2\cdot \sqrt{3}}{4}$$

Pois bem, acabamos de ver que a medida da área de um triângulo equilátero é igual à medida do lado do triângulo multiplicado por $\frac{\sqrt{3}}{2}$. Para o caso do favo da colmeia, a medida do lado é $a/3$, ou seja, ${L=\frac{a}{3}}$

e assim a área será

$${Area}=\frac{L^2\cdot \sqrt{3}}{4}=\frac{\left({\frac{a}{3}}\right)^2\cdot \sqrt{3}}{4}=\frac{\frac{a^2}{9}\cdot \sqrt{3}}{4}$$$$=\frac{a^2}{9}\cdot \sqrt{3}\cdot \frac{1}{4}=\frac{\sqrt{3}}{36}\cdot a^2$$

Conclusão

Com um comprimento "a" podemos criar um triângulo equilátero de área $$ \frac{\sqrt{3}}{36}\cdot a^2\approx 0,048112\cdot a^2$$.

Análise do quadrado

No caso do quadrado, cada lado dela irá medir $\frac{a}{4}$ e como a área do quadrado é igual ao quadrado da medida do lado então

$$Area_{{Quadrado}}=\left(\frac{a}{4}\right)^2=\frac{1}{16}\cdot a^2=0,0625\cdot a^2.$$

 

Análise do hexágono regular

No caso do hexágono regular você deve lembrar que a área é seis vezes a área do triângulo equilátero que possui o mesmo lado (do hexágono). Para que você nunca mais se esqueça desta propriedade, eu preparei uma ilustração dinâmica que ilustra esse fato. Arraste o seletor ou clique no botão "Play" para ver o que queremos dizer.

[Link para a construção anterior: https://ggbm.at/vrrBCebW]

Sabendo disso, voltamos à fórmula da área do triângulo equilátero cuja medida do lado é "L" e multiplicamos ela por 6. Assim,

$$Area_{{Hexagono Reg.}}=6\cdot {{Area}}_{{Triangulo Equilatero}}=6\cdot \frac{L^2\cdot \sqrt{3}}{4}$$

Ou seja,

$$Area_{Hex. Reg.}=6\color{red}{\div 2}\cdot \frac{L^2\cdot \sqrt{3}}{4\color{red}{\div 2}}=\frac{3\cdot \sqrt{3}\cdot L^2}{2}$$

que finalmente nos dá:

$$Área_{\mbox{Hex. Reg.}}=\frac{3\cdot \sqrt{3}}{2}\cdot {L}^2$$

Agora que sabemos a fórmula para calcular a área do hexágono regular, voltemos ao nosso problema. Note que o comprimento "a" deverá ser dividido agora por 6. Assim, a medida do lado do hexágono será ${L=\frac{a}{6}}$ e assim, a área delimitada pelo hexágono feito com cera será:

Área$$_{\mbox{Hex. Cera}}=\frac{3\cdot \sqrt{3}}{2}\cdot \left({\frac{a}{6}}\right)^2=\frac{3\cdot \sqrt{3}}{2}\cdot \frac{a^2}{36}=\frac{3\cdot\sqrt{3}}{72}\cdot a^2$$

Simplificando vem,

$$Area_{\mbox{Hex. Cera}}=\frac{3\color{red}{\div 3}\cdot\sqrt{3}}{72\color{red}{\div 3}}\cdot a^2=\frac{\sqrt{3}}{24}\cdot a^2\approx 0,0721687\cdot a^2$$

Conclusão

Área triângulo equilátero

$$ \frac{\sqrt{3}}{36}\cdot a^2\approx 0,048112\cdot a^2.$$

Área do quadrado

$$\frac{1}{16}\cdot a^2=0,062500\cdot a^2.$$

Área do Hexágono

$$\frac{\sqrt{3}}{24}\cdot a^2\approx 0,072168\cdot a^2$$

Qual dos três tem área maior? Dos números decimais que aparecem logo acima, o maior é o terceiro (0,072168), ou seja, a área do hexágono é a maior entre as três. Se quiser um caso particular, tome $$a=10\,\,\,\mbox{cm}$$ e teremos, em particular:

Área triângulo equilátero

$$ \frac{\sqrt{3}}{36}\cdot a^2\approx 0,048112\cdot 10^2=0,048112\cdot 100=4,8112\,\,\mbox{cm}^2$$

Área do quadrado

$$\frac{1}{16}\cdot a^2=0,062500\cdot 10^2=0,062500\cdot 100.=6,25\,\,\mbox{cm}^2$$

Área do Hexágono

$$\frac{\sqrt{3}}{24}\cdot a^2\approx 0,072168\cdot 10^2= 0,072168\cdot 100= 7,2168\,\,{cm}^2$$

Simples, não? Por incrível que pareça as abelhas sabem que esse é o melhor formato para a construção dos favos.

Observe o seguinte: os conceitos aqui usados são estudados em sua escola (todos eles) e muitos alunos perguntam: mas por que eu devo estudar isso se não irei usar isso em meu dia a dia? O que viu aqui não é algo que irá usar em seu dia a dia, mas com certeza se trata de um conhecimento a mais que conseguiu usando como ferramenta alguns tópicos vistos em sala de aula.

Não seja tão limitado ao ponto de querer estudar apenas o que poderá usar em seu dia-a-dia. Estaríamos ainda no século XV ou antes disso se só estudássemos o que usaríamos no dia-a-dia. SmartPhones, MP3, e outras coisas não existiriam. Pense alto.