domingo, 15 de abril de 2018

Teorema de Pitágoras: casos mais gerais

Teorema de Pitágoras: casos mais gerais

Pitágoras é conhecido como o "pai" de um teorema famoso que diz que em um triângulo retângulo (aquele que possui um ângulo de 90 graus) o quadrado da medida da hipotenusa é igual a soma dos quadrados das medidas dos catetos. Entretanto a contribuição desse filósofo e matemático não está apenas no campo da matemática.

Nesse desenho antigo do Pato Donald podemos ver que falam de um Pitágoras que é ligado também a música. O vídeo é bem pequeno. Vale a pena ver.

Assistir vídeo

Nesta postagem vamos falar sobre uma das contribuições de Pitágoras para a matemática. Na verdade, não se sabe se foi ele o autor da percepção da relação entre as medidas dos lados de um triângulo retângulo. Saiba mais sobre Pitágoras.

Veja a ilustração seguinte.

Teorema de Pitágoras: casos mais gerais

A área do quadrado maior deve ser igual a soma das áreas dos quadrados menores.

Vamos experimentar? O que o GeoGebra permite, através do applet seguinte é essa experimentação. Arraste um dos pontos A, B ou C e veja o que acontece com a relação entre o quadrado da medida da hipotenusa ($a^2$) e a soma dos quadrados das medidas dos catetos ($b^2+c^2$).

Abrir applet

Sabe o que é mais interessante? Ele também é válido se outros polígonos estiverem apoiados no lado do triângulo retângulo, ou seja, se houver um pentágono regular cujo lado mede igual à medida da hipotenusa, então a área do pentágono maior será igual a soma das áreas dos pentágonos menores. Não entendeu? Experimente a seguinte construção:

Abrir applet

Arraste os pontos A, B ou C e veja o que ocorre com a relação entre a área do polígono maior e a soma das áreas dos polígonos menores (entenda maior e menor em termos de área). Você verá nesta ilustração que a soma das áreas dos polígonos menores dará a área do polígono maior.

Isso também é válido em outra situação. A que não envolve polígono e sim um semicírculo. Veja a ilustração seguinte e depois de arrastar os pontos A, B ou C, verifica que a área do semicírculo maior é igual a soma das áreas dos semicírculos menores.

Abrir applet

Vamos finalizar esse artigo tentando fazer uma demonstração simples a partir de uma construção. A partir de quatro cópias de um triângulo retângulo vamos construir um quadrado. A ilustração seguinte em um applet permite que você veja, de forma dinâmica, esta construção mencionada.

Abrir applet

Nesta construção, marcas iguais indicam medidas iguais. Apenas usando palavras veja se é claro para você que:

A área dos quatro tiângulos mais a área do quadrado branco dá a área do quadrado maior (AFIE). É verdade? Pois bem.

Área de cada triângulo retângulo: $\frac{b\cdot c}{2}$
Área do quadrado branco: $a^2$
Área do quadrado AFIE: $(a+b)^2$

Então, como a área dos quatro triângulos mais a área do quadrado branco dará a área do quadrado AFIE então

$$4\cdot \frac{b\cdot c}{2}+a^2=\color{blue}{(b+c)^2}$$

ou seja

$$2\cdot b\cdot c+a^2=\color{blue}{b^2+2\cdot b\cdot c+c^2}$$

Cancelando os termos iguais em ambos os membros da igualdade ($2\cdot b\cdot c$) ficaremos com

$$a^2=b^2+c^2$$

que é precisamente o que diz o teorema de Pitágoras (em sua versão mais conhecida).

Há outras demonstrações. Para o Teorema de Pitágoras são conhecidas mais de 350 demonstrações diferentes. Quer ver mais uma? Observe o próximo applet? Ele apresenta uma situação semelhante à anterior, mas nele você pode movimentar os triângulos. Para isto, basta arrastar o seletor escrito "Mova-me".

Abrir applet

Com o seletor "Mova-me" todo a esquerda você tem um quadrado grande e dois quadrados brancos, certo? Concorda que a área de um quadrado branco é $b^2$? É a mesma medida da base do triângulo retângulo marrom. O outro quadrado branco tem área $b^2$, que é a mesma altura do triângulo retângulo marrom.

Então, é correto dizer que se pegarmos a área do quadrado maior e dele retirarmos as áreas dos triângulos coloridos restarão as áreas dos quadrados brancos, certo? Essa área será de $b^2+c^2$, correto? (É a soma das áreas dos quadrados brancos).

Agora, mova o seletor "Mova-me" para a direita. Agora o quadrado branco tem área $a^2$, certo? Isto se dá por conta de que o lado desse novo quadrado branco tem lado de medida "a", que é a hipotenusa do triângulo retângulo. Do mesmo modo que antes, se retirarmos do quadrado maior os triângulos coloridos restará apenas o quadrado branco de área $a^2$.

Ora, retiramos nos dois casos da área de um quadrado maior os triângulos coloridos. Em um obtivemos como resultado $a^2$ e para o outro $b^2+c^2$. Essas áreas devem ser iguais, não? Ou seja, $a^2=b^2+c^2$.

e chegamos mais uma vez ao Teorema de Pitágoras. É interessante o leitor ficar atento para as chamadas demonstrações sem palavras (essas que se faz movimentando peças de um lado para o outro). Embora em muitos casos os argumentos são verdadeiros, há situações em que sua visão pode ser enganado com argumentos que levam você a conclusões não corretas.

Um exemplo simples disso está no fato de que movimentando as peças coloridas na figura abaixo podemos desaparecer com uma unidade de área e isso não é verdade.

Veja na imagem seguinte uma ilustração do que estou falando.

Consegue explicar o aparecimento desse buraco?


Consegue explicar o aparecimento desse buraco?

\begin{equation}sdsdsd\end{equation}

Compartilhe:


Algum link quebrado? Por favor, entre em contato para reportar esse erro.
Leia a política de comentários do blog. Para escrever em $\LaTeX$ nos comentários, saiba em latex.mipedes.com.br.

Postar um comentário

Whatsapp Button works on Mobile Device only

Digite no campo abaixo e tecle ENTER para pesquisar.