Você constrói gráfico de funções quadráticas ($y=ax^2+bx+c$) atribuindo diversos valores para 'x'? Você sabia que é possível fazer o esboço do gráfico desta função apenas observando os sinais de 'a', 'b', o valor de 'c' e o $\Delta$? Pode acreditar... ;-) É sobre isso que queremos falar neste postagem. Leia devagar... Certifique-se de que está entendendo o que está sendo explicado. Vamos lá?
Na próxima postagem queremos falar um pouco de aplicações das funções quadráticas, mas para isso seria interessante saber fazer um rabisco rápido do gráfico da função em questão. Então, antes de falarmos sobre onde podemos aplicar funções quadráticas, vamos tentar adquirir a habilidade de fazer esboços de gráficos de funções quadráticas, mas de preferência sem atribuir diversos valores ao 'x'.
Vamos relembrar o que é uma função quadrática. Trata-se de uma função definida por uma lei de associação do seguinte modo: $$f(x)=ax^2+bx+c, \mbox{ com }a\neq 0.$$O gráfico da função é uma parábola que pode ter a concavidade voltada para cima (se $a>0$) ou a concavidade voltada para baixo (se $a<0$). É interessante que o leitor tenha isso de forma clara.
Mas além de saber o significado de 'a', é interessante que o leitor saiba também o que 'b' e 'c' representam no esboço do gráfico. A construção acima pode ser acessada por ESTE LINK. A ideia é que o se acompanhe, vendo por si só, o que o que vamos explicar a seguir. O leitor deve se convencer de que
- Se $a>0$, (Seta VERDE) a concavidade é voltada para cima. Se mudar o valor de 'a' verá que a parábola muda a abertura, mas enquanto o sinal de 'a' for positivo, ela continua com a concavidade voltada para cima.
- Se $a<0$, (Seta VERDE) a concavidade é voltada para baixo.
- Se $b>0$, (Seta VERMELHA) a parábola cruza com o Eixo Oy na parte crescente da parábola. Imagine você andando da esquerda para a direita. Quando passar pelo lugar onde cruza com o Eixo Oy, você estará subindo, certo? Dizemos que a parábola cruza com o Eixo Oy na parte CRESCENTE quando $b>0$.
- Se $b<0$, (Seta VERMELHA) a parábola cruza com o Eixo Oy na parte DECRESCENTE da parábola. Experimente a construção que está NESTE LINK e se certifique-se de que você entendeu o que acabamos de falar.
- Se $b=0$, (Seta VERMELHA) a parábola cruza com o Eixo Oy em seu VÉRTICE.
- O valor de 'c' indica ONDE A PARÁBOLA CRUZA COM O EIXO Oy. Novamente: Experimente a construção que está NESTE LINK e se certifique-se de que você entendeu o que acabamos de falar.
- As Setas AZUIS mostram os pontos em que o gráfico cruza com o Eixo Ox. Estes são os chamados ZEROS da função e para encontrá-los, basta encontrar os valores de 'x' para os quais $ax^2+bx+c=0$ e para resolver esta equação, basta lembra da fórmula de resolução de equação quadrática:
$$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$ Bom, saber fazer um rabisco rápido a respeito do gráfico de uma função, é possível fazer este rabisco levando em conta o que significa 'a', 'b' e 'c'. Se atribuir diversos valores para 'x' na função $f(x)=ax^2+bx+c$.
O procedimento para construir este esboço pode ser o seguinte: olhando primeiro 'c', depois marcando o que ocorre com 'b' e finalmente 'a' procedamos do seguinte modo:
- Marque o local onde o gráfico cruza com o eixo Oy. Quem indica isso é o valor de 'c'. Por exemplo: em $y=3x^2+5x\color{red}{-4}$, o gráfico cruza com o Eixo Oy em $y=-4$, pois $c=-4$, ok? Em $y=-2x^2-3x\color{red}{+2}$, o gráfico cruza com o Eixo Oy em $y=2$, pois $c=2$. Pare e certifique-se de que entendeu isso. NESTE LINK você pode movimentar o seletor que controla o valor de 'c' e 'sentir' isso. O 'c' indica onde o gráfico cruza com o Eixo Oy.
- Neste ponto onde o gráfico cruza com o eixo Oy, marque uma setinha decrescente se $b<0$, uma setinha horizontal se $b=0$ ou uma setinha crescente se $b>0$. NESTE LINK você pode ver exatamente do que estamos falando. Movimente o seletor que fica com o valor de 'b' e perceba que se $b<0$ a setinha aponta para direita e para baixo, se $b=0$ a setinha aponta na horizontal e se $b>0$ a setinha aponta para direita e para cima. Certifique-se de que tenha entendido isso. Em $y=3x^2\color{red}{+5}x-4$, $b=5$, ou seja $b>0$ e então, o gráfico vai cruzar o eixo Oy no ponto em que o gráfico está CRESCENDO. A setinha vai apontar para a direita e para cima. Em $y=-2x^2\color{red}{-3}x+2$, temos $b=-3$ ou seja, $b<0$ e assim o gráfico cruza com o eixo Oy em sua parte decrescente. A setinha apontará para a direita e para baixo. NESTE LINK você pode ver exatamente do que estamos falando.
- Já para o que 'a' significa, este é o que os estudantes menos têm problema. Se $a>0$, a concavidade ficará voltada para cima. Se $a<0$ a concavidade estará voltada para baixo. Novamente, pedimos ao leitor que visite ESTE LINK e experimente, modificando o seletor, os diversos valores de 'a'.
É importante que tenha entendido o significado 'c' (ponto de interseção da parábola com o eixo Oy), 'b' (se a parábola cruza com o eixo Oy em sua parte crescente (se $b>0$) ou decrescente (se $b<0$) ou no vértice (se $b=0$)) e 'a' (concavidade voltara pra cima se a>0 ou para baixo, se 'a<0'). Você entendeu? Conseguiria fazer um esboço do gráfico da função $y=4x-x^2$? Experimente aí... Depois de fazer o seu esboço
Tente fazer o esboço do gráfico desta outra função, apenas com o que discutimos acima: $f(x)=3x^2-4x-2$. Observe que: $c=-2$, $b=-4$ e $a=3$. Tente fazer o seu esboço e depois
Olha, eu vou lhe contar algo... Se você entender direitinho o significado destes três parâmetros e como eles contribuem para a construção do gráfico, verá que pode fazer um rabisco da forma do gráfico rapidinho, sem precisar atribuir diversos valores pra a variável independente (geralmente 'x') para vários casos. E você pode perguntar: "então há situações que só isso não basta para fazer o esboço do gráfico?" A resposta é sim. Há situações em que isso não basta. Tente fazer o esboço do gráfico da função $y=2x^2+3x+1$. Veja se consegue perceber onde está o ponto que 'não fecha'?
E o Delta? Ajuda em quê?
O texto que aparece abaixo é um texto dinâmico e ele vai mudar dependendo do sinal de $\Delta$. Agora, acompanhe a relação entre o número de raízes (aqueles locais em que o gráfico cruza com o Eixo Ox. Repare que temos três opções
- Se $\Delta>0$ o gráfico cruzará com o Eixo Ox em dois pontos. Certifique-se de que entendeu isso. Caso queira experimentar o ambiente mostrado na figura acima, basta clicar NESTE LINK.
- Se $\Delta=0$ o gráfico cruzará com o Eixo Ox em um único ponto. Experimente a construção no link acima e se convença disso.
- Se $\Delta<0$ o gráfico não cruzará o Eixo Ox em nenhum ponto. Certifique-se de ter entendido isso. ;-)
Agora, se juntar todas estas informações, você agora consegue fazer o esboço (um rabisco) do gráfico de qualquer função quadrática, sem atribuir diversos valores para 'x' para construir uma sequência de pontos de modo que possa passar o lápis sobre os pontos e conseguir fazer o gráfico.
Exemplo
Lembra do exemplo que colocamos acima $y=\color{red}{2}x^2+\color{green}{3}x+\color{blue}{1}$ ? Como seria o esboço do gráfico desta função?
Note que
- $\color{blue}{c=1}$ e assim, o gráfico cruza com o Eixo Oy em $y=1$;
- $\color{green}{b=3}$ e assim, o gráfico cruza com o Eixo Oy na parte CRESCENTE da parábola, pois $b>0$ (setinha para cima, lembra?) Confira NESTE LINK
- $\color{red}{a=2}$ e assim, o gráfico tem a concavidade voltada para cima.
O problema é que unindo todas estas informações, nos restam ainda três possibilidades para o esboço do gráfico, concorda? Veja a imagem seguinte. Concavidade voltada para cima, gráfico cruza com o Eixo Oy na parte crescente no ponto $y=1$ restam ainda três possibilidades. Como decidir qual?
Acompanhou o texto na imagem acima? Concluímos que $\Delta>0$ e assim, o formado to gráfico precisa ser o que está em azul. ;-) Simples, não? Com todas estas informações, vocẽ agora tem condições de fazer um esboço do gráfico de qualquer função quadrática e sem atribuir diversos valores para 'x'.
Se você quiser um pouco mais de precisão no esboço do gráfico, pode encontrar onde o gráfico cruza com o Eixo Ox. Neste caso seria encontrar o chamado Zero da função, mas vamos deixar este assunto para outra postagem. Esta aqui já ficou um tiquinho grande. Espero que tenha sido útil a vocês.
Abração pro 6.
Luís Cláudio LA
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