Eu me lembro de quando ainda estava na graduação e no momento em que fui apresentado à série harmônica: $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}=1+\frac12+\frac13+\frac14\cdots .$$ A ideia era simples e você pode se imaginar fazendo uma caminhada em que no primeiro passo damos o maior passo, 1 metro, por exemplo, no segundo, 1/2 metro, ... , no 100º passo já estaremos andando 1/100 metro ou seja 1 cm, ... , no 1000º passo estaremos andando 1/1000 metro ou seja, 1 mm. Então é natural de se pensar que depois de 1 bilhão de passos estaremos andando uma distância que precisaria de um microscópio (se é que conseguiria) para ver a distância que está se andando. Então, acho que é natural pensar que a distância percorrida é finita, não é?
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Pois é... Eu usei este raciocínio prático para concluir que esta série era uma série convergente. Eu estava errado e este pode ser um exemplo de que os nossos sentidos e percepções podem nos enganar. Daí não ser prudente tirar conclusões a partir do que se percebe com os nossos sentidos. Eu me lembro até hoje do professor: Pedrão.
Ele mostrou, de uma forma simples, que na verdade esta série era divergente, ou seja, com esta regra, dá para ir da Terra até a Lua ou dar uma volta pela Via Láctea. Confesso que foi um pouco difícil aceitar, mas... Diante da matemática, fui convencido. Eis a ideia apresentada. $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}=1+\frac12+\frac13+\frac14+\frac15+\frac16+\frac17+\frac18 +\\ +\frac19+\frac{1}{10}+\frac{1}{11}+\frac{1}{12}+\frac{1}{13}+\frac{1}{14}+\frac{1}{15}+\frac{1}{16} \cdots .$$ Agora, vamos diminuir um pouco o membro direito do membro direito. Para isso, note que $\frac13>\frac14$ e assim, se retiramos $\frac13$ e colocamos $\frac14$ estamos diminuindo o lado direito, correto? Então ficaremos com $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}=1+\frac12+\color{red}{\underbrace{\frac13+\frac14}_{>\frac14+\frac14=\frac24=\frac12}}+\frac15+\frac16+\frac17+\frac18 +\\ +\frac19+\frac{1}{10}+\frac{1}{11}+\frac{1}{12}+\frac{1}{13}+\frac{1}{14}+\frac{1}{15}+\frac{1}{16} \cdots .$$ Agora, como fizemos anteriormente, vamos lembrar que $\frac15>\frac18$, $\frac16>\frac18$, $\frac17>\frac18$ e assim, se trocarmos estas parcelas por $\frac18$ estaremos diminuindo o membro direito novamente e aí ficaremos com $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}=1+\frac12+\color{red}{\underbrace{\frac13+\frac14}_{>\frac14+\frac14=\frac24=\frac12}}+\color{blue}{\underbrace{\frac15+\frac16+\frac17+\frac18}_{>\frac18+\frac18+\frac18+\frac18=\frac48=\frac12}} +\\ +\frac19+\frac{1}{10}+\frac{1}{11}+\frac{1}{12}+\frac{1}{13}+\frac{1}{14}+\frac{1}{15}+\frac{1}{16} \cdots .$$ Agora, fazendo o mesmo para as outras frações a partir de $\frac19>\frac{1}{16}$ ... $\frac{1}{15}>\frac{1}{16}$ e assim, trocando estas frações, minuiremos mais ainda o membro direito e ficaremos com $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}=1+\frac12+\color{red}{\underbrace{\frac13+\frac14}_{>\frac14+\frac14=\frac24=\frac12}}+\color{blue}{\underbrace{\frac15+\frac16+\frac17+\frac18}_{>\frac18+\frac18+\frac18+\frac18=\frac48=\frac12}} +\\ +\color{green}{\underbrace{\frac19+\frac{1}{10}+\frac{1}{11}+\frac{1}{12}+\frac{1}{13}+\frac{1}{14}+\frac{1}{15}+\frac{1}{16}}_{>\frac{1}{16}+\cdots \frac{1}{16}=\frac{8}{16}=\frac{1}{2}}} \cdots .$$ Então podemos escrever que $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}>1+\color{red}{\frac{1}{2}}+\color{blue}{\frac{1}{2}}+\color{green}{\frac{1}{2}}+\cdots$$ e a mesma ideia que usamos anteriormente, pode ser usado ad aeternum e assim, vai aparecer a seguinte relação $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}>1+\color{red}{\frac{1}{2}}+\color{blue}{\frac{1}{2}}+\color{green}{\frac{1}{2}}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cdots$$ e a soma que aparece à direita, esta sim, é nitidamente divergente para o infinito. Então a série harmônica ela é maior do que a série que aparece do lado direito, que tente a infinito. Então, a série harmônica não pode convergir sob pena de que a relação mostrada acima não ser verdadeira. Então, ela É DIVERGENTE (para infinito).
Em livros de análise na reta, esta demonstração pode ser feita usando uma abordagem mais precisa, mas a ideia por trás é esta apresentada acima. Aqui, queremos fazer uma apresentação que fique mais simples para que as pessoas possam entender.
A vagarosidade da divergência da Série Harmônica
Embora a série harmônica seja divergente, colocar um computador para calcular esta soma, o uso deste artefato não vai lhe ajudar a perceber a divergência desta série. O professor Geraldo Ávila, fez uma palestre na 56ª Reunião Anual da SBPC - Cuiabá, MT - Julho/2004.
O objetivo da palestra é discutir a divergência da série harmônica, um fenômeno bem conhecido e de fácil demonstração. No entanto, essa divergência ocorre de maneira extremamente lenta. Para ilustrar esse fato, sugerimos somar os termos da série de forma a obter sua coma parcial , para diferentes valores de n. Mostramos, com a ajuda do computador, que, por maior que seja o número n, essas somas crescem tão vagarosamente que parecem indicar que a série seja convergente. Isso é interessante por mostrar como o computador pode iludir-nos. Embora seja um instrumento muito útil, mesmo para a descoberta de resultados teóricos na Matemática, precisa ser utilizado com o devido cuidado.
Hoje em dia, o computador vem sendo utilizado para implementar softwares sobre os quais às vezes nada sabemos; as operações são executadas cegamente sem que o usuário tenha a menor ideia do que esteja acontecendo. No caso da série harmônica, imaginamos um computador tão rápido quanto possa permitir a velocidade da luz, e com ele executamos a soma da série harmônica durante bilhões de anos, sem, contudo ultrapassar o valor . Mas como, se não temos como esperar bilhões de anos?! A resposta está nos processos aproximados da Matemática, subjacente ao software apropriado aos cálculos em pauta. Essa Matemática muito simples, baseada na função logarítmica, é devidamente explicada.
Fonte: AQUI.
NESTE ARTIGO, publicado na revista RPM 30, o memo professor, Geraldo Ávila, na última página, mostra que mesmo com um computador moderno calculando a soma parcial desta série, para que a soma parcial chegasse a 94,299, era necessário que este computador ficasse ligado mais 16 bilhões de anos. Então, a série harmônica diverge, mas diverge muuuuuitooooo lentamente.
Abração pro 6 ;-)
Luís Cláudio LA
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