Ano-luz em Quilômetros
Área da Via-Láctea
Para fonte de informações para os nossos cálculos, usaremos as informações disponível nesta página (para Via Láctea) e nesta
(para Sistema Solar). A nossa galáxia, a Via Láctea,tem a forma
espiralada que pode ser distribuída em um disco de cerca de 105.700 anos
luz de diâmetro e aproximadamente 3000 anos luz de espessura. Aqui
vamos nos concentrar no diâmetro e em particular no raio, pois vamos
pensar nela como um disco de raio R=105.700/2=53750 anos luz.
Pecisamos do raio da Via-Láctea em Quilômetros, mas a
partir do que vimos na seção anterior, não é difícil fazer esta
conversão. Para tal, observe que $$53\,750 LY=53750\times 9,454\,254\,955\times 10^{12}\,\rm{km}=508\,166,20383125\times 10^{12}$$ Tudo bem, é um excesso de preciosismo da minha parte não usar logo uma aproximação, mas eu gostaria de deixar as aproximações para depois. Vamos colocar esse último número em notação científica? Ficará assim: $$508\,166,20\,383\,125\times 10^{12}\,\rm{km}=\frac{508\,166,20\,383\,125}{\color{red}{10^5}}\color{red}{\times 10^5}\times 10^{12}\\ =5,0816620383125\times 10^{17},$$ ou seja, o raio da Via-Láctea é de $$R=5,0816620383125\times 10^{17}\,\rm{km}$$ Isso é tão grande que não dá para imaginar uma
distância desta.... Assim, a Via Láctea tem uma área de aproximadamente$$\mbox{ÁreaVL}=\pi R^2=\pi\times (5,0816620383125\times 10^{17})^2\,\rm{km}^2=\\ \pi\times 25,823289072\times10^{34}\,\rm{km}^2=81,1263\times 10^{34}$$ isto é, em notação científica temos$$\mbox{ÁreaVL}=8,11263\times10^{35}\,\rm{km}^2.$$ ÁreaVL=Área da Via Láctea
Agora, vamos ao cálculo da área da Terra.
Área da Terra
A Terra é praticamente uma esfera. A rigor é um
elipsoide em que a maior distância do centro até a superfície difere em
pouco mais de 20 km que em relação ao raio da terra que é de
aproximadamente 6.371 km que dá uma diferença de cerca de 0,313%. Há um
texto que eu escrevi em que tento mostrar que a Terra é mais lista do
que uma bola de bilhar e você pode ler esse texto AQUI,
se você quiser. Então, vamos considerar a Terra como uma esfera de raio
R=6371 km. Como a área de uma esfera é 4π.R² então teremos $$\mbox{ÁreaTERRA}=4\pi R^2\,\rm{km}^2=4\pi (6371)^2\,\rm{km}^2$$ Fazendo os cálculos e colocando em notação científica concluiremos que $$\mbox{ÁreaTERRA}=5,10064\times 10^8\,\rm{km}^2\approx 5,1\times 10^8\,\rm{km}^2$$ Note que aqui usamos o fato de que o volume da esfera
de raio R é 4π.R². Você achou que isso seria inútil e não serviria para
nada, certo? Pois é, serve para calcular a área da superfície terrestre.
E quanto ao Sistema Solar?
Área do Sistema Solar
Aqui vamos ter que fazer algumas considerações, pois o
Sistema Solar pois a forma do Sistema Solar não é algo que se saiba
exatamente como é. Veja esta reportagem que fala um pouco sobre isso. Segundo a matéria o Sistema Solar teria a forma de um Croissant amassado
Sistema Solar em forma de croissant: modelo em 3D
da heliosfera desenvolvida no novo estudo (Foto: Merav Opher, et. al).
Imagem da reportagem.
Grande parte dessas ideias se baseia em informações enviadas pela sonda Cassini, que estudou Saturno entre 1997 e 2007, e em dados provenientes das sondas Voyager 1 e 2, que foram lançadas em 1977 e são as únicas a já terem chegado ao espaço interestelar. (...) Outro equipamento essencial para o estudo foi a sonda New Horizons, lançada em 2006 com objetivo de investigar Plutão.
Ilustração representa a localização das sondas
Voyager 1 e Voyager 2 na heliosfera (Foto: NASA). Imagem retirada da
reportagem mencionada logo acima.
Como esta forma do Sistema Solar é um tanto "estranha",
vamos fazer o seguinte: olharemos para a área de um CD, para a área da
Terra e depois até onde teríamos que ir pensando no sistema solar na
forma de um disco com o Sol no centro. Tudo bem, não é, como viu logo
acima, mas vamos pensar nesta simplificação.
Área de um CD
Um CD (Compact Disc) tem cerca de 12 cm de diâmetro (veja dimensões exatas na figura seguinte).
Naturalmente, a área deste CD é de π.R² cm²=π.12²
cm²=π.144 cm²=452,389342117 cm². Pois bem, agora precisamos da área do
CD em km. Isso mesmo...
Para transformar cm² em km², basta andar com a vírgula
para a esquerda 10 casas decimais, como mostramos na tabela de
transformação a seguir
Então vamos lá... A área do CD em km² será 0,0000000452 km² que em notação científica ficará$$0,0000000452\,\rm{km}^2=0,0000000452\times \color{red}{10^8}\,\frac{1}{\color{red}{10^8}}=4,52\times 10^{-8}\rm{km}^2$$ Vamos encontrar o "Raio" do Sistema Solar de modo que a seguinte proporção seja válida $$\frac{\mbox{Área CD}}{\mbox{Área TERRA}}=\frac{\mbox{Área DISCO PLANETÁRIO}}{\mbox{Área VIA LÁCTEA}}$$ Substituindo os valores que encontramos acima teremos $$\frac{4,52\times 10^{-8}\,\rm{km}^2}{5,1\times 10^8\,\rm{km}^2}=\frac{\pi R^2 \,\rm{km}^2}{8,11263\times 10^{35}\,\rm{km}^2}$$ Note que como as unidades de medidas são as mesmas, não precisaremos escrevê-las e assim ficaremos com $$\frac{4,52\times 10^{-8}}{5,1\times 10^8}=\frac{\pi R^2}{8,11263\times 10^{35}}$$ Agora, vamos resolver esta equação em R. Esse R é o
raio do disco planetário, vamos assim chamar, medido a partir do Sol,
tomado aqui como centro. Vejamos onde esse disco teria suas bordas.
Vamos usar um software para nos ajudar com esse cálculo. Veja os
comandos a seguir.
Então, encontramos que para que esta proporção
funcione, precisamos considerar a nossa fronteira do disco planetário a $$R=4,78399\times10^9\,\rm{km}\approx 4,784\times 10^9\,\mbox{km}.$$ Vamos ver uma tabela com a distância do Sol até os planetas (conhecidos) do Sistema Solar
Fonte: AQUI.
O valor que encontramos para R coloca o nosso disco
depois de Netuno que é aproximadamente $4,5\times 10^9$ e Plutão (que não é mais
considerado planeta, mas em nossos corações sempre será um planeta.
;-)) aproximadamente $5,9\times 10^9$. Veja que o nosso R é aproximadamente
$4,7\times 10^9$.
Considerações Finais
Salvo eu ter errado em alguma conta, a pesquisadora fez
menção ao Sistema Solar na comparação que ela fez, mas aqui só
conseguimos mostrar que a comparação faz sentido olhando para o disco
planetário. Entretanto, isso não tira o mérito da comparação que ela fez
trazendo para algo que conseguimos ter uma ideia com os sentidos humano
algo que sabíamos que era grande, mas essa comparação realmente faz com
que percebamos como somos pequenos
Faça um exercício. Pegue um CD em suas mãos. Imagine
que neste CD você tem todos os planetas conhecidos do Sistema Solar em
suas mãos. A área desse disco planetário está em suas mãos, mas esse
disco está em um sistema maior chamado Via Láctea em que a área é
próximo à área da Terra. Consegue perceber agora o tamanho da Via
Láctea? E ela nem é a maior... Isso não é fantástico?
Isso suscita outra discussão. Se existisse outra pessoa
no outro bairro da sua cidade, quais as chances de se comunicarem? E se
esta outra pessoa estivesse em outra cidade? Lembre-se de que um CD é
onde estão todos os planetas conhecidos do Sistema Solar. Você poderia
se comunicar com eles? E se esta outra pessoa estivesse em outro país,
em outro continente ou do outro lado da Terra? É por isso que eu digo
que pode até existir outras civilizações inteligentes na Via Láctea, mas
estamos separados pela distância. Mas isso é assunto para outra
postagem.
Exercícios para casa: as sondas Voyager 1 e 2
estão a uma distância da Terra que gira em torno das 75 UA (Unidade
Astronômica) em que 1 UA corresponde à distância da Terra ao Sol, cerca
de 150 milhões de quilômetro ou seja, 1 UA= 1,5.10^8 km. Quantos cm a
sonda se afastou da borda do nosso disco planetário (que é o nosso CD)?
Lembre-se que foram cerca de 45 anos para percorrer esta distância.
A propósito... Se quiser ver alguém que escreve muito
bem sobre um possível contato nesta vastidão do universo, considere ler o
livro a seguir
Clique AQUI para ver detalhes do livro.
Último comentário
Aqui você pode notar que usamos algumas coisas que se
aprende na escola. Eis os assuntos que você estudou na escola e que
estão aqui
- Notação Científica
- Razão
- Proporção
- Transformação de Unidades de Medida
Talvez você não use toda a matemática que estuda em seu
cotidiano, mas isso não faz dela inútil. Aplicações sempre existem. ;-)
Grande abraço
Luís Cláudio LA
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