É possível definir zero elevado a zero? [Parte 1]

Esta postagem é uma tradução do artigo que está disponível AQUI. O objetivo é discutir sobre o que sabemos sobre a potência $0^0$. É possível definir um único valor para esta potência ou ela poderia dar valores diferentes?

 

Autores: Michael Huber e V. Frederick Rickey
 

Introdução

Quando os livros de cálculo afirmam que $0^0$ é uma forma indeterminada, eles querem dizer que existem funções $f(x)$ e $g(x)$ tais que $f(x)\rightarrow 0$  e $g(x)\rightarrow 0$ quando $x\rightarrow 0$, e aquele deve-se avaliar o limite de $$\lim_{x\rightarrow 0} f ( x )^{g(x)}.$$ Mas e se $0$ for apenas [mais] um número? Então, argumentamos, o valor está perfeitamente bem definido, ao contrário do que muitos textos dizem. Na verdade, $0^0= 1$.

Livros de álgebra atuais

Pegue um livro de matemática do Ensino Médio hoje e você verá que $0^0$ é tratado como uma forma indeterminada . Por exemplo, o [texto] seguinte foi retirado de um texto atual dos Regentes de Nova York [ 6 ]:
 
Lembramos a regra para dividir potências com bases semelhantes: $$\frac{x^a}{x^b}=x^{a-b} \mbox{ com }x\neq 0.$$ Se não exigirmos $a>b$, $a$ pode ser igual a $b$. Quando $a=b$: $$\frac{x^a}{x^b}=\frac{x^a}{x^a}=x^{a-a}=x^0,$$ mas $$\frac{x^a}{x^a}=1,$$ pois todo número (diferente de zero) dividido por ele mesmo é igual a 1.

 
Portanto, para que $x^0$ seja significativo, devemos fazer a seguinte definição $$x^0=1 \mbox{ para todo }x\neq 0$$ Uma vez que a definição $x^0 = 1$ é baseada na divisão e a divisão por 0 não é possível, afirmamos que x não é igual a 0. Na verdade, a expressão $0^0$ (0 elevado à potência zero) é uma de várias expressões indeterminadas na matemática. Não é possível atribuir um valor a uma expressão indeterminada.

Formas Indeterminadas

Os livros de cálculo também discutem o problema, geralmente em uma seção que trata da Regra de L'Hopital. Suponha que recebamos duas funções, $f(x)$ e $g(x)$, com as propriedades que $$\lim_{x \rightarrow a} f (x) = 0 \mbox{ e }\lim_{x \rightarrow a} g (x) = 0.$$ Ao tentar avaliar$$f(x)^{g(x)}$$ no limite conforme x se aproxima de a , somos informados corretamente que esta é uma forma indeterminada do tipo $0^0$ e que o limite pode têm vários valores de f e g. Isso levanta a questão: são iguais? Podemos distinguir $0^0$ como uma forma indeterminada e $0^0$ como um número?

O tratamento de $0^0$ tem sido discutido por várias centenas de anos. Donald Knuth [ 7 ] aponta que um conde italiano com o nome de  Guglielmo Libri publicou vários artigos na década de 1830 sobre o assunto $0^0$ e suas propriedades. No entanto, em seu Elements of Algebra, (1770) [ 4 ], que foi publicado anos antes de Libri, Euler escreveu,

Como nesta série de potências, [ele fala a respeito desta sequência: $a,a^2, a^3, a^4$] cada termo é encontrado multiplicando-se o termo precedente por a, o que aumenta o expoente por 1; então, quando qualquer termo é dado, também podemos encontrar o termo precedente, se dividirmos por a, porque isso diminui o expoente em 1. Isso mostra que o termo que precede o primeiro termo a 1 deve necessariamente ser $\frac{a}{a}$ ou 1; e, se procedermos de acordo com os expoentes, imediatamente concluímos que o termo que precede o primeiro deve ser um 0 ; e, portanto, deduzimos esta propriedade notável, que a 0 é sempre igual a 1, seja grande ou pequeno o valor do número $a$ possa ser, e mesmo quando $a$ não é nada [ou seja, $a=0$]; ou seja, $a^0=1$.

[Comentário LuCla. Penso que o que o autor escreveu não procede, pois o fato de na sequência $x_n=a^n$ podermos encontrar o termo anterior dividindo por $a$, esse $a$ precisa ser não nulo. O "ou seja" ali no final não é evidente... Ele fala que a relação deve ser válida mesmo quando $a=0$. Entretanto, dividir $a=0$ por zero gera uma indeterminação que não se tem dúvida, pois neste caso, $\frac{a}{a}=\frac{0}{0}$ pode ser qualquer número, pois qualquer número multiplicado por 0 é 0. Então, creio que haja um problema com a conclusão.]

Mais de Euler: Em sua Introdução à Análise do Infinito (1748) [ 5 ], ele escreve:

Deixe o exponencial a ser considerado $a^r$ onde $a$ é uma constante e o expoente $r$ é uma variável .... Se $r = 0$, então temos $a^r = 1$. Se $a = 0$, damos um grande salto no valores de $a^r$ . Enquanto o valor de $r$ permanecer positivo ou maior que zero, sempre teremos $a^r = 0$. Se $r = 0$, então $a^0 = 1$.

Euler define o logaritmo de y como o valor da função r, tal que $a^r=y$. Ele escreve que se entende que a base a do logaritmo deve ser um número maior que 1, evitando assim sua referência anterior a um possível problema com $0^0$.

George Baron

A definição de potência costuma ser feita de maneira descuidada. Quase trinta anos antes do primeiro artigo de Libri,  George Baron publicou "Uma breve Investigação, sobre a Definição, da palavra Potência, em Aritmética e Álgebra " em The Mathematical Correspondent (1804). Neste artigo [ 1 ], Baron inicia a discussão com a seguinte definição:

As potências de qualquer número, são os produtos sucessivos, surgindo da unidade, continuamente multiplicados, por esse número.

 
Como exemplo, ele escreve que 1 × 5 = 5, que é a primeira potência de 5, e 1 × 5 × 5 = 25, que é a segunda potência de 5, etc. A primeira, a segunda, etc., as potências são então, convenientemente expresso como 5 1 , 5 2 , etc. Da mesma maneira, as potências de qualquer número x podem ser representadas como x 1 , x 2 , etc., em que x 1 = 1 × x , x² = x¹ × x , etc. Depois de declarar alguns corolários, Baron escreve:
 

Perguntemos, pois, a seguir, se a mesma definição não nos levará a uma solução clara e inteligível, dos misteriosos paradoxos, resultantes da definição comum, quando aplicada, ao que se denomina, a potência nula dos números.

Baron então aborda as regras para divisão de potência (veja acima para o argumento do texto do Ensino Médio), mas ele desenvolve uma conclusão diferente:

Se a multiplicação por x , ser abstraído da primeira potência de x , por meio da divisão; a potência se tornará nada, mas a unidade permanecerá: para $\frac{x^1}{x} = \frac{1 \times x}{x} = 1, $ e, portanto, é claro que $x^0= 1$, quando x representa qualquer número qualquer. Mas, uma vez que o número x é aqui ilimitado em relação à grandeza, segue-se que a potência nada de um número infinito é igual a uma unidade.

[Comentário LuCla:  Aqui novamente eu vejo problema na fala do autor, pois quando ele diz "(...) quando x representa qualquer número qualquer", esse $x$ não é qualquer. O raciocínio anterior só é válido de $x\neq 0$.]

Baron dá crédito a William Emerson (1780) [ 3 ] e Jared Mansfield (1802) [ 9 ] que escreveram sobre o assunto "nada" [a palavra original é "nothing"... não encontrei uma tradução melhor]. Baron leva seus argumentos um passo adiante e postula que o número x pode ser qualquer número, grande ou pequeno:

Para prosseguir com a aplicação de nossa definição à quantidade na extremidade última da pequenez, suponhamos que x represente qualquer quantidade fracionária; ou em outras palavras, deixe x denotar qualquer magnitude, expressa em números, por meio de alguma parte de sua unidade de medida: então, pela definição $x^1 = 1 × x$ . Deixe agora esta multiplicação por x , ser abstraída; e pelas razões até agora avançadas, temos $x^0=1$. Agora, uma vez que $x$ aqui representa uma quantidade fracionária, independente de qualquer limitação, em relação à pequenez; podemos, portanto, supor $x$, por meio de diminuição contínua, ou diminuição, para passar de seu valor presente, através de cada grau de pequenez, até se tornar nada ; então será evidente que, durante essa diminuição ou diminuição de $x$ , $x^0$ continuará igual a uma unidade invariável; e isso precisamente no instante em que x se torna nada, $x^0$ ou $0^0 = 1$.

[Comentário LuCla:  Aqui poderíamos até aceitar o raciocínio pensando em definir $$0^0=\lim_{x\rightarrow 0}(0+x)^0=\lim_{x\rightarrow 0}(1)=1,$$ mas essa é uma das aproximações. Será que qualquer aproximação leva ao número 1? Por exemplo: se fosse $$0^0=\lim_{x\rightarrow 0}(0)^{0+x}=\lim_{x\rightarrow 0}(0)=0.$$ O segundo argumento mostra que, pensando na continuidade, $0^0$ poderia ser zero. A pergunta é: $f(x)=0^x$ é a única função em que se tem a extensão contínua para $x=0$ que nos leva a outro número diferente de 1 (neste caso nos leva a $0$)?  Vamos continuar com o texto dos autores...]


Baron nunca menciona o termo forma indeterminada , e na verdade ele termina seu tratado com o seguinte: 

Além dis $x^0 = 1$, qualquer que seja o valor de $x$ ; de consequência; em cada sistema de logaritmos, o logaritmo de 1 = 0.

[Comentário LuCla:  Aqui eu também discordo do autor, pois não é verdade que $x^0=1$ para qualquer valor de x. É evidente que esta igualdade é válida se $x\neq 0$ e estamos investigando se seria possível estender para $x=0$ a exemplo do que se faz com a função $f(x)=\frac{\sin(x)}{x}$ que não está definida para $x=0$, mas é perfeitamente "estendível" para $x=0$ se considerarmos que  $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin(x)}{x}=1$ (basta usar a regra de L'Hopital). Entretanto, não creio que podemos já afirmar que $x^0=1$ para qualquer valor de x. Sobre a última fala dele, de fato $0=\log_x 1$, mas esse $x$ não é qualquer. Na definição de logaritmo $0<x\neq 1$. Neste caso $x=1$ até pode acontecer, mas $x=0$ não é permitido pela definição de logaritmos.]

Guglielmo Libri e Augustin Cauchy

De acordo com Knuth, o artigo de  Libri de 1833  [ 8 ] "produziu várias inquietações no mundo matemático quando apareceu originalmente, porque gerou uma controvérsia sobre se $0^0$ é definido." A maioria dos matemáticos da época concordava que $0^0 = 1$, embora  Augustin-Louis Cauchy  tivesse listado $0^0$ em uma tabela de formas indefinidas em seu livro intitulado Cours D'Analyse (1821) [ 2 ]. Evidentemente, o argumento de Libri não foi convincente, então August Möbius veio em sua defesa. Möbius tentou defender Libri apresentando uma suposta prova de $0^0=1$ (em essência, uma prova de que $$\lim_{x\rightarrow {0^+}} x^x = 1.$$ Após confrontos com outro matemático, o artigo "foi discretamente omitido do registro histórico quando as obras coletadas de Möbius foram publicadas". Knuth continua a escrever que o debate terminou com o resultado de que $0^0$ deve ser indefinido, e então ele afirma,

"Não, não, dez mil vezes não!"

Talvez Cauchy estivesse desenvolvendo a noção de $0^0$ como uma forma de limitação indefinida. Então, o valor limite de $f(x)^{g(x)}$ não é conhecido a priori quando cada um de $f ( x )$ e $g ( x )$ se aproximam de 0 independentemente. De acordo com Knuth, "o valor de $0^0$ é menos definido do que, digamos, o valor de $0 + 0$". Ele nos faz lembrar o teorema binomial: $$(x + y)^ n = \sum_{k = 0}^n{n\choose k} x^ky^ {n-k}.$$ Se este teorema for válido para pelo menos um inteiro não negativo, então os matemáticos "devem acreditar que $0^0=1$ ", pois podemos inserir $x = 0$ e $y = 1$ para obter 1 à esquerda e $0^0$ à direita.

Exemplos envolvendo $0^0$

Em 1970, Herbert Vaughan [ 10 ] defendeu o reconhecimento explícito da avaliação de $0^0 = 1$. Ele pretendia mostrar "que há uma grande motivação para definir '$0^0$' como um numeral para 1." Ele forneceu três exemplos.

Exemplo 1. Vaughan deu a progressão geométrica infinita $$\sum_{n = 1}^{\infty}x^{n-1}=\frac{1}{1-x}\mbox{ para }|x|<1.$$ Se $x = 0$, então $\vert x \vert = \vert 0 \vert <1,$ que leva a $$\sum_{n = 1}^{\infty}0^{n-1} =\frac{1}{1-0}=1.$$ A soma infinita pode ser expandida como $$0^0 + 0^1 + 0^2 +\cdots = 1.$$ Conforme declarado por Vaughan, se $0^0$ não for definido, essa soma não tem sentido. Além disso, se $0^0 \neq 1$, a soma é falsa.

Exemplo 2. Este exemplo surge da soma infinita para e x , que pode ser escrita como $$\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{x^{n-1}}{(n-1)!}=e^ x \mbox {, para todos } x.$$ Todos concordam que $0! = 1$, então, no caso em que $x = 0$, a soma torna-se $$\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{0^{n-1}}{(n-1)!}=e^ 0 = 1.$$ A soma pode ser expandida como $$\frac{0^ 0}{0!}+\frac{0^1}{1!}+\frac{0^2}{2!}+\cdots = \frac{0^0}{1} + 0 + 0 + \cdots = 0 ^ 0.$$ O lado direito da soma é $e^0=1$, então $0^0=1$.

Exemplo 3. Um terceiro exemplo dado por Vaughan envolve o número cardinal de um conjunto de mapeamentos. Na teoria dos conjuntos, a exponenciação de um número cardinal é definida da seguinte forma:

 

$a^b$ é o número cardinal do conjunto de mapeamentos de um conjunto com b membros em um conjunto com a membros.

 

Por exemplo, $2^3 = 8$ porque há oito maneiras de mapear o conjunto $\{x, y, z\}$ no conjunto $\{a, b\}$. Para calcular $0^0$, determine o número de mapeamentos do conjunto vazio em si mesmo. Existe precisamente um desses mapeamentos, que é ele próprio, o conjunto do conjunto vazio. "Portanto, no que diz respeito aos números cardinais", escreveu Vaughan, "$0^0=1$".
 

Quando um matemático pode querer que $0^0$ seja algo que não é indeterminado? Se, por exemplo, estamos discutindo a função $f (x, y) = x^y$, a origem é uma descontinuidade da função. Não importa qual valor possa ser atribuído a $0^0$, a função $x^y$ nunca pode ser contínua em $x = y = 0$. Por que não? O limite de $x^y$ ao longo da linha $x = 0$ é $0$, mas o limite ao longo da linha $y = 0$ é $1$, não $0$. Para consistência e utilidade, uma escolha "natural" seria definir $0^0 = 1$. 

Conclusão e Bibliografia

Seguindo a honrada técnica pedagógica de "primeiro diga a eles o que você vai dizer a eles, depois diga a eles e, a seguir, diga a eles o que você lhes disse", resumimos. Se você está lidando com limites, então $0^0$ é uma forma indeterminada, mas se você está lidando com álgebra comum, então $0^0 = 1$.

Bibliografia

1. George Baron, "A short Disquisition, concerning the Definition, of the word Power, in Arithmetic and Algebra," The Mathematical Correspondent (1804), pages 59 - 66. Available here (pdf download) and from Google Books beginning here.
2. Augustin-Louis Cauchy, Cours d'Analyse de l'Ecole Royale Polytechnique (1821). In his Oeuvres Complètes, series 2, volume 3, available here from Gallica Digital Library.
3. William Emerson, A treatise of algebra, in two books, 2nd edition, J. Nourse, London, 1780. Title page and pages 208-213, including the problem "To explain the several properties of (0) nothing, and infinity," available here (pdf download), courtesy of United States Military Academy Library.
4. Leonhard Euler, Elements of Algebra, translated by Rev. John Hewlett, Springer-Verlag, New York, 1984, pages 50 - 51.
5. Leonhard Euler, Introduction to Analysis of the Infinite, translated by John D. Blanton, Springer-Verlag, New York, 1988, pages 75 - 76.
6. E. Keenan, A. X. Gantert, and I. Dressler, Mathematics B, Amsco School Publications, Inc., New York, 2002.
7. Donald Knuth, "Two Notes on Notation," The American Mathematical Monthly, Volume 99, Number 5, May 1992, pages 403 - 422. This is available in JSTOR.
8. Guillaume Libri, "Mèmoire sur les functions discontinues," Journal für die reine und angewandte Mathematik, 10 (1833), pages 303 - 316. Available here (pdf download), courtesy of Göttingen State and University Library Digitalization Center (GDZ).
9. Jared Mansfield, Essays, mathematical and physical: containing new theories and illustrations of some very important and difficult subjects of the sciences, W. W. Morse, New Haven, 1802. Title page and pages 12-17, including first five pages of the essay "Of Nothing and Infinity," available here (pdf download), courtesy of United States Military Academy Library.
10. Herbert E. Vaughan, "The Expression of 0 ⁰ ," The Mathematics Teacher , Volume 63, fevereiro de 1970, página 111.

 

Meus Comentários ;-)

Façamos assim... Vou escrever outra postagem com algumas considerações minhas sobre o tema. Eu já deixei alguns comentários neste texto, mas quero mostrar alguns gráficos e tecer alguns comentários sobre a possível definição de $0^0$.

 

 Assim que eu escrever, deixo o link aqui. Experimente deixar seu email para receber o aviso. Basta assinar a nossa newsletter.

Abração pro 6.

Luís Cláudio LA (LuCla)

 

Em tempo: logo na primeira linha há o link para o artigo original. Se você acha que alguma parte poderia ser traduzido de forma diferente, deixe sua contribuição nos comentários logo abaixo. ;-)