Teorema Fundamental do Cálculo [parte 2]

O segundo Teorema Fundamental do Cálculo nos diz a "cara" da primitiva de uma função qualquer. É possível mostrar que se $y=f(t)$ é contínua em $[a,b]$ então

$$\cfrac{d}{dx}\int_{a}^{x}f(t)\,dt=F(x)$$

e que esta resposta não depende do ponto $a$ (desde que este seja um ponto de continuidade - pelo menos lateral). Por esse motivo nós poderíamos escrever apenas

$$\cfrac{d}{dx}\int^{x}f(t)\,dt=F(x)$$

ou simplesmente, como é utilizado hoje,

$$\cfrac{d}{dx}\int f(x)\,dx=F(x)$$

ou seja, o símbolo $\int f(x)\,dx$ representa uma função que quando derivada dá a função f(x) e isso é o que chamamos de primitiva da função $y=f(x)$, ou seja, o símbolo $\int f(x)\,dx$ representa a primitiva $F(x)$ de $f(x)$ e escrevemos

$$\int f(x)\,dx=F(x)+C$$

A seguir deixamos uma construção feita com o GeoGebra onde você pode movimentar um ponto T sobre o eixo x. Ao fazer isso um ponto se moverá deixando um rastro. Esse conjunto de pontos estão sobre o gráfico de uma primitiva de $y=f(x)$.

O legal dessa construção é que você pode ver até onde fica o gráfico da primitiva de uma função onde a primitiva não é elementar. É o caso de $$F(x)=\int e^{x^2}\,dx$$ cuja primitiva não pode ser escrita em termo das funções conhecida como constante, identidade, as trigonométricas, logaritmos, exponenciais e inversas de trigonométricas.

Mesmo assim você poderá ver como é o formato do gráfico da primitiva. Basta acessar esse applet criado com o GeoGebra.

 

Esses e outros assuntos você encontra no livro a seguir escrito por este que vos fala e pelo saudoso professor Geraldo Ávila

 

Clique sobre a figura para acessar detalhes do livro

 

Falamos sobre isso no vídeo seguinte. Coloque-o em tela cheia se ficar difícil de ver o quadro. :-)

Veja também sobre o

Teorema Fundamental do Cálculo [parte 1] 
Grande abraço
Luís Cláudio LA