sábado, 17 de fevereiro de 2018

O Teorema do Valor Médio

Você conhece o Teorema do Valor Médio? Bom, você vai tomar conhecimento dele se fizer um curso de Cálculo 1 e talvez o veja novamente em Cálculo 2. O teorema diz que se $y=f(x)$ é uma função contínua em $[a,b]$ e derivável em $(a,b)$ então existe $c\in (a,b)$ tal que $f'(c)=\cfrac{f(b)-f(a)}{b-a}.$

Como encontrar o valor de $c$?

Em outras palavras, olhando para o aspecto geométrico, ele diz, basicamente, que se você tem uma função contínua em um intervalo $[a,b]$, derivável em $(a,b)$ e uma reta passando por $A=(a,f(a))$ e $B=(b,f(b))$ então há (pelo menos) um ponto entre $a$ e $b$ onde a reta tangente ao gráfico é paralela a reta que passa por $[a,b]$.

O Teorema do Valor Médio

O applet (eu não sei se esse nome é masculino ou feminino... talvez seja "A applet") seguinte permite que você explore esse conceito. Arraste o ponto sobre a curva, modifique o intervalo, a função e entenda o que quer dizer o resultado do teorema. Clique no botão abaixo para acessá-lo.

Abrir applet

Talvez um vídeo com explicações sobre esse teorema lhe ajude a entender melhor.



Como corolário (resultado que decorre de um principal) desse teorema temos:
  1. Já sabemos que se uma função é constante a derivada é zero. Com o Teorema do Valor Médio podemos dizer que a recíproca também é verdadeira, ou seja, se uma função tem derivada zero em um intervalo então ela é constante neste intervalo também.
  2. Se duas funções têm a mesma derivada, então elas diferem uma da outra apenas por constantes. Em outras palavras, se $F'(x)=f(x)$ e $G'(x)=f(x)$ então $F(x)-G(x)=C$ ou seja, $F(x)=G(x)+C$ em que $C\in \mathbb{R}$. Por isso, quando escrevemos $\displaystyle \int f(x)\cdot dx=G(x)+C$ estamos falando da família de todas as funções cuja derivada dará $f(x)$ pois não há primitiva de $f(x)$ fora desta família, mesmo que aparentemente elas sejam diferentes. Sobre isso, escrevi o artigo Integrais primitivas aparentemente diferentes.
É isso aí pessoal. 
Grande abraço
Luís Cláudio LA


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