Primitivas aparentemente diferentes

Sabe quando você está estudando e tentando resolver aquela integral e acha que acertou, vai ao final do livro ou do capítulo onde o autor colocou as respostas e chegando lá você vê que o que encontrou não é o que está lá? A primeira coisa que pensa é pôxa vida... errei. Entretanto, não necessariamente você errou e é sobre isso que falaremos aqui.

Um dos corolários do Teorema do Valor Médio permite concluir que se $F(x)$ e $G(x)$ são primitivas de uma função $f(x)$ então F e G diferem por uma constante, ou seja, $F(x)=G(x)+C\,\, \mbox{onde}\,\,C\in R$

Entretanto, é muito comum que pensemos estas duas funções idênticas e diferindo por uma constante na escrita como por exemplo $F(x)=x^2+5$ e $G(x)=x^2+10$. Nosso interesse aqui é mostrar exemplos de funções cuja primitiva pode ser escrita em termos de funções "aparentemente" diferentes.

Uma situação interessante

Uma função que permite contemplar esse tipo de primitivas aparentemente diferentes é a $\displaystyle f(x)=\cot(x)$. Podemos escrever

$$\int \csc (x)\,dx=-\ln|\csc(x)+\cot(x)|+C$$

ou

$$\int \csc (x)\,dx=\ln|\csc(x)-\cot(x)|+C$$

Embora semelhantes, há uma diferença no sinal. Para obter esses resultados basta fazer os seguinte:

$$\int \csc(x)\,dx=\int \csc(x)\color{red}{\cdot \frac{\csc(x)+cot(x)}{\csc(x)+\cot(x)}} \,dx$$

$$=\int \frac{\csc^2(x)+\csc(x)\cot(x)}{\csc(x)+\cot(x)}\,dx$$

Agora, fazendo a mudança de variável $u=\csc(x)+\cot(x)$ teremos

$$du=-\csc(x).\cot(x)-\csc^2(x)dx=-[\csc(x).\cot(x)+\csc^2(x)]dx$$

Daí,

$$\int \csc(x)\,dx=\int \frac{\csc^2(x)+\csc(x)\cot(x)}{\csc(x)+\cot(x)}\,dx=\int \frac{-du}{u}=-\ln |u|+C$$

e concluímos que

$$\int \csc(x)\,dx=-\ln |\csc(x)+\cot(x)|+C$$

Agora, faremos de outra forma

Observe:

$$\int \csc(x)\,dx=\int \csc(x).\color{red}{\frac{\csc(x)-\cot(x)}{\csc(x)-\cot(x)}}\,dx$$

$$=\int \frac{\csc^2(x)-\csc(x).\cot(x)}{\csc(x)-\cot(x)}\,dx$$

Considere a mudança de variável $u=\csc(x)-\cot(x)$. Então teremos

$$du=[-\csc(x).\cot(x)+\csc^2(x)]dx=[\csc^2(x)-\csc(x).\cot(x)]dx$$

Então,

$$\int\csc(x)\,dx=\int \frac{\csc^2(x)-\csc(x).\cot(x)}{\csc(x)-\cot(x)}\,dx=\int \frac{1}{u}du=\ln|u|+C$$

e concluímos que

$$\int \csc(x)\,dx=\ln |\csc(x)-\cot(x)|+C$$

Se desenhar o gráfico das duas funções encontrará algo como mostramos na figura seguinte. Há um gráfico de cor azul e outro de cor vermelha. Note que estão sobrepostos. Trata-se apenas de uma ilustração. A demonstração deixaremos para outro momento.

Observe que nesse caso as primitivas são idênticas.

Nesse caso as duas primitivas são idênticas. Note que um gráfico fica sobre o outro.

Outra situação interessante

Considere agora o problema de encontrar a primitiva da função $\displaystyle f(x)=\frac{1}{\sqrt{e^{2x}-1}}$. Uma das formas de resolver a integral é da seguinte forma:

$$\int \frac{1}{\sqrt{e^{2x}-1}}\, dx=\int \frac{\frac{1}{\color{red}{\sqrt{e^{2x}}}}}{\frac{\sqrt{e^{2x}-1}}{\color{red}{\sqrt{e^{2x}}}}}\, dx$$$$=\int \frac{\frac{1}{(e^{2x})^{\frac{1}{2}}}}{\sqrt{\frac{e^{2x}-1}{e^{2x}}}}\,dx=\int \frac{\frac{1}{e^{x}}}{\sqrt{1-\frac{1}{e^{2x}}}}\,dx$$ $$=\int \frac{e^{-x}}{\sqrt{1-e^{-2x}}}\,dx=\int \frac{e^{-x}}{\sqrt{1-(e^{-x})^2}}\,dx$$

Agora, fazendo $\displaystyle u=e^{-x}$ encontraremos $\displaystyle du=-e^{-x}dx$ e assim,

$$\int \frac{1}{\sqrt{e^{2x}-1}}\, dx=\int \frac{e^{-x}}{\sqrt{1-(e^{-x})^2}}\,dx=\int \frac{-du}{\sqrt{1-u^2}}=-\arcsin(u)+C$$

Desse modo,

$$\int \frac{1}{\sqrt{e^{2x}-1}}\, dx=-\arcsin(e^{-x})+C$$

Outra resolução

Agora, vamos pensar em uma outra solução. Consideramos o mesmo problema: calcular a integral

$$\int \frac{1}{\sqrt{e^{2x}-1}}\, dx$$

Façamos agora a mudança de variável $\displaystyle e^{2x}-1=w^2,\,\,w>0$, ou seja, $x>0$. Daí, $\displaystyle d(e^{2x}-1)=d(w^2)$ ou seja, $\displaystyle 2.e^{2x}dx=2w.dw$. Como $e^{2x}=1+w^2$ então

$$2.e^{2x}dx=2w.dw\Rightarrow 2.(1+w^2).dx=2w.dw\Rightarrow dx=\frac{2w.dw}{2(1+w^2)}dw$$

ou seja,

$$dx=\frac{w}{1+w^2}dw$$

Daí,

$$\int \frac{1}{\sqrt{e^{2x}-1}}\, dx=\int \frac{1}{\sqrt{w^2}}\cdot \frac{w}{1+w^2}\,dw=\int \frac{1}{\color{red}w}\cdot \frac{{\color{red}w}}{1+w^2}\,dw$$

$$\int \frac{1}{1+w^2}\,dw=\arctan(w)+C$$

Como $\displaystyle e^{2x}-1=w^2,\,\,w>0$ então $\displaystyle w=\sqrt{e^{2x}-1}$ e assim,

$$\int \frac{1}{\sqrt{e^{2x}-1}}\, dx=\int \frac{1}{1+w^2}\,dw=\arctan(w)+C$$

$$=\arctan(\sqrt{e^{2x}-1})+C$$

Então, concluímos que:

$\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{e^{2x}-1}}\, dx=-\arcsin(e^{-x})+C$

$\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{e^{2x}-1}}\, dx=\arctan(\sqrt{e^{2x}-1})+C$

Aparentemente são diferentes, não? Se dois alunos resolvem o problema de calcular a primitiva de $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{e^{2x}-1}}$ e encontram $\displaystyle -\arcsin(e^{-x})$ e $\displaystyle \arctan(\sqrt{e^{2x}-1})$ o primeiro pensamento que deve vir à mente é que um deles errou ou ambos erraram o cálculo. Entretanto, os dois acertaram.

A teoria diz que estas funções devem diferir uma da outra apenas por uma constante. Então, é se de esperar que o gráfico de uma seja igual ao gráfico de outra com algum deslocamento vertical. E é o que de fato se vê quando desenhamos o gráfico das duas funções. Observe na figura seguinte.

Note que nesse caso as primitivas diferem por constante e não são idênticas como no caso anterior.

A ilustração sugere que $G(x)-F(x)=C$ onde $C\in R$. Isso é fato conhecido na literatura e não iremos demonstrar aqui já que o objetivo foi construir uma ilustração que mostrasse que estas funções podem ser aparentemente diferentes e mesmo assim diferirem por uma constate.

Um grande abraço
Luís Cláudio LA