quarta-feira, 31 de janeiro de 2018

Integrais primitivas aparentemente diferentes

Integrais primitivas aparentemente diferentes

Sabe quando você está estudando e tentando resolver aquela integral e acha que acertou, vai ao final do livro ou do capítulo onde o autor colocou as respostas e chegando lá você vê que o que encontrou não é o que está lá? A primeira coisa que pensa é pôxa vida... errei. Entretanto, não necessariamente você errou e é sobre isso que falaremos aqui.

Um dos corolários do Teorema do Valor Médio permite concluir que se $F(x)$ e $G(x)$ são primitivas de uma função $f(x)$ então F e G diferem por uma constante, ou seja, $F(x)=G(x)+C\,\, \mbox{onde}\,\,C\in R$

Entretanto, é muito comum que pensemos estas duas funções idênticas e diferindo por uma constante na escrita como por exemplo $F(x)=x^2+5$ e $G(x)=x^2+10$. Nosso interesse aqui é mostrar exemplos de funções cuja primitiva pode ser escrita em termos de funções "aparentemente" diferentes.

Integrais primitivas aparentemente diferentes

Uma situação interessante

Uma função que permite contemplar esse tipo de primitivas aparentemente diferentes é a $\displaystyle f(x)=\cot(x)$. Podemos escrever

$$\int \csc (x)\,dx=-\ln|\csc(x)+\cot(x)|+C$$

ou

$$\int \csc (x)\,dx=\ln|\csc(x)-\cot(x)|+C$$

Embora semelhantes, há uma diferença no sinal. Para obter esses resultados basta fazer os seguinte:
$$\int \csc(x)\,dx=\int \csc(x)\color{red}{\cdot \frac{\csc(x)+cot(x)}{\csc(x)+\cot(x)}} \,dx$$

$$=\int \frac{\csc^2(x)+\csc(x)\cot(x)}{\csc(x)+\cot(x)}\,dx$$

Agora, fazendo a mudança de variável $u=\csc(x)+\cot(x)$ teremos

$$du=-\csc(x).\cot(x)-\csc^2(x)dx=-[\csc(x).\cot(x)+\csc^2(x)]dx$$

Daí,

$$\int \csc(x)\,dx=\int \frac{\csc^2(x)+\csc(x)\cot(x)}{\csc(x)+\cot(x)}\,dx=\int \frac{-du}{u}=-\ln |u|+C$$

e concluímos que

$$\int \csc(x)\,dx=-\ln |\csc(x)+\cot(x)|+C$$

Agora, faremos de outra forma

Observe:

$$\int \csc(x)\,dx=\int \csc(x).\color{red}{\frac{\csc(x)-\cot(x)}{\csc(x)-\cot(x)}}\,dx$$

$$=\int \frac{\csc^2(x)-\csc(x).\cot(x)}{\csc(x)-\cot(x)}\,dx$$

Considere a mudança de variável $u=\csc(x)-\cot(x)$. Então teremos

$$du=[-\csc(x).\cot(x)+\csc^2(x)]dx=[\csc^2(x)-\csc(x).\cot(x)]dx$$

Então,

$$\int\csc(x)\,dx=\int \frac{\csc^2(x)-\csc(x).\cot(x)}{\csc(x)-\cot(x)}\,dx=\int \frac{1}{u}du=\ln|u|+C$$

e concluímos que

$$\int \csc(x)\,dx=\ln |\csc(x)-\cot(x)|+C$$

Se desenhar o gráfico das duas funções encontrará algo como mostramos na figura seguinte. Há um gráfico de cor azul e outro de cor vermelha. Note que estão sobrepostos. Trata-se apenas de uma ilustração. A demonstração deixaremos para outro momento.

Integral


Observe que nesse caso as primitivas são idênticas.

Nesse caso as duas primitivas são idênticas. Note que um gráfico fica sobre o outro.

Outra situação interessante

Considere agora o problema de encontrar a primitiva da função $\displaystyle f(x)=\frac{1}{\sqrt{e^{2x}-1}}$. Uma das formas de resolver a integral é da seguinte forma:

$$\int \frac{1}{\sqrt{e^{2x}-1}}\, dx=\int \frac{\frac{1}{\color{red}{\sqrt{e^{2x}}}}}{\frac{\sqrt{e^{2x}-1}}{\color{red}{\sqrt{e^{2x}}}}}\, dx$$$$=\int \frac{\frac{1}{(e^{2x})^{\frac{1}{2}}}}{\sqrt{\frac{e^{2x}-1}{e^{2x}}}}\,dx=\int \frac{\frac{1}{e^{x}}}{\sqrt{1-\frac{1}{e^{2x}}}}\,dx$$ $$=\int \frac{e^{-x}}{\sqrt{1-e^{-2x}}}\,dx=\int \frac{e^{-x}}{\sqrt{1-(e^{-x})^2}}\,dx$$

Agora, fazendo $\displaystyle u=e^{-x}$ encontraremos $\displaystyle du=-e^{-x}dx$ e assim,

$$\int \frac{1}{\sqrt{e^{2x}-1}}\, dx=\int \frac{e^{-x}}{\sqrt{1-(e^{-x})^2}}\,dx=\int \frac{-du}{\sqrt{1-u^2}}=-\arcsin(u)+C$$

Desse modo,

$$\int \frac{1}{\sqrt{e^{2x}-1}}\, dx=-\arcsin(e^{-x})+C$$

Outra resolução

Agora, vamos pensar em uma outra solução. Consideramos o mesmo problema: calcular a integral

$$\int \frac{1}{\sqrt{e^{2x}-1}}\, dx$$

Façamos agora a mudança de variável $\displaystyle e^{2x}-1=w^2,\,\,w>0$, ou seja, $x>0$. Daí, $\displaystyle d(e^{2x}-1)=d(w^2)$ ou seja, $\displaystyle 2.e^{2x}dx=2w.dw$. Como $e^{2x}=1+w^2$ então

$$2.e^{2x}dx=2w.dw\Rightarrow 2.(1+w^2).dx=2w.dw\Rightarrow dx=\frac{2w.dw}{2(1+w^2)}dw$$

ou seja,

$$dx=\frac{w}{1+w^2}dw$$
Daí,

$$\int \frac{1}{\sqrt{e^{2x}-1}}\, dx=\int \frac{1}{\sqrt{w^2}}\cdot \frac{w}{1+w^2}\,dw=\int \frac{1}{\color{red}w}\cdot \frac{{\color{red}w}}{1+w^2}\,dw$$

$$\int \frac{1}{1+w^2}\,dw=\arctan(w)+C$$

Como $\displaystyle e^{2x}-1=w^2,\,\,w>0$ então $\displaystyle w=\sqrt{e^{2x}-1}$ e assim,

$$\int \frac{1}{\sqrt{e^{2x}-1}}\, dx=\int \frac{1}{1+w^2}\,dw=\arctan(w)+C$$
$$=\arctan(\sqrt{e^{2x}-1})+C$$

Então, concluímos que:

$\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{e^{2x}-1}}\, dx=-\arcsin(e^{-x})+C$
$\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{e^{2x}-1}}\, dx=\arctan(\sqrt{e^{2x}-1})+C$

Aparentemente são diferentes, não? Se dois alunos resolvem o problema de calcular a primitiva de $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{e^{2x}-1}}$ e encontram $\displaystyle -\arcsin(e^{-x})$ e $\displaystyle \arctan(\sqrt{e^{2x}-1})$ o primeiro pensamento que deve vir à mente é que um deles errou ou ambos erraram o cálculo. Entretanto, os dois acertaram.

A teoria diz que estas funções devem diferir uma da outra apenas por uma constante. Então, é se de esperar que o gráfico de uma seja igual ao gráfico de outra com algum deslocamento vertical. E é o que de fato se vê quando desenhamos o gráfico das duas funções. Observe na figura seguinte.

Integral arco tangente e arco seno

Note que nesse caso as primitivas diferem por constante e não são idênticas como no caso anterior.

A ilustração sugere que $G(x)-F(x)=C$ onde $C\in R$. Isso é fato conhecido na literatura e não iremos demonstrar aqui já que o objetivo foi construir uma ilustração que mostrasse que estas funções podem ser aparentemente diferentes e mesmo assim diferirem por uma constate.

Um grande abraço
Luís Cláudio LA

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