Calcular volume de sólidos (nesse caso de revolução). Essa é uma das aplicações de integrais definidas. Existem várias. A ilustração seguinte é dinâmica, ou seja, ela permite interação. Já está com um exemplo que utilizarei nas considerações desta postagem.
Vamos pensar na região delimitada pela curva $y=\sin(x)$ com $0\leq x\leq \pi$ e pelo eixo Ox. A região que teremos é a que está logo a seguir.
Observação.: quando for fazer exercícios pode usar essa construção para lhe ajudar na visualização de outras regiões.
Applet: Regiões planas delimitadas por um gráfio e o eixo Ox.
Imagem apenas ilustrativa sobre o tema
Quando essa região gira em torno de um eixo produz um tipo de sólido que chamamos de sólido de revolução. O que vê a seguir é também dinâmico. Se segurar o botão do lado direito apertado e arrastar a figura 3D poderá ver ela em diversos ângulos. Girar a roda do mouse permite que aproxime ou distancie do sólido.
Applet: Sólido de revolução (Eixo Ox).
Para calcular o volume desse sólido o que produzimos é uma aproximação por fatiamento. A ideia é fatiar o sólido particionando o intervalo [a,b] e obtendo algo como mostrado na figura seguinte.
Sólido e uma aproximação do seu volume
Essa e outras ilustrações podem ser vistas em www.uff.br. Vamos tomar um desses discos genéricos. A seguir você tem uma outra ilustração (dinâmica) onde pode ver esses cilindros para uma situação qualquer que você escolher.
Applet: Disco da aproximação do volume de sólido de revolução.
Esse disco genérico está com a extremidade esquerda em um ponto $x_i$ o raio dele é a imagem desse ponto. Logo o volume desse i-ésimo disco será $$V_i=\pi\cdot f(x_i)^2\cdot \Delta x=\pi\cdot f^2(x_i)\cdot \Delta x$$ em que $\Delta x$ é a altura do cilindro.
O valor aproximado do volume obtemos ao adicionar o volume dos diversos discos usados na aproximação (veja ilustração seguinte).
Ilustração mostrando aproximação do volume por meio de discos
Assim, $$V\approx \sum_{i=1}^{n}V_i=\sum_{i=1}^{n}\pi\cdot f^2(x_i)\cdot \Delta x$$
Considerando $\Delta x=\frac{b-a}{n}$ em que $n$ é o número de partes que o intervalo foi dividido então, passando ao limite quando $n\rightarrow \infty$ passaremos a ter:
$$V=\lim_{n\rightarrow \infty}\sum_{i=1}^{n}\pi\cdot f^2(x_i)\cdot \Delta x=_{Def}\int_{a}^{b}\pi\cdot f^2(x)\cdot dx$$
ou seja, $$V=\pi \int_{a}^{b}f^2(x)\cdot dx$$
O que precisa observar para resolver um exercício?
Veja, a ilustração existente aqui é para um tipo de sólido: aquele obtido ao rotacionar uma região delimitada pelo eixo Ox e o gráfico de uma função. Se houver dois gráficos (uma função de cima e uma de baixo) precisa fazer uma adaptação. Se o exercício pedir para girar a região em torno do eixo Oy também precisa de uma adaptação.
O que fazer se precisar calcular o volume de um sólido obtido com a rotação de uma região delimitada pelo gráfico de uma função, o eixo Ox em torno do eixo Ox?
Vamos lá? Veja uma rotina que poderá ajudar:
- Identifique qual é a função que "cerca" a região por cima. Será uma $y=\cdots$ ou $f(x)=\cdots$.
- Identifique o intervalo [a,b] em que a função está definida. Você precisa ter claro quem é "a" e quem é "b".
- Você pode usar a primeira construção mostrada nesta postagem para ajudá-lo (a) na visualização das regiões.
- Escreva a integral que calcula o volume levando em conta quem é $y=f(x)$, $a$ e $b$, ou seja, escreva a integral
$$\pi\int_{a}^{b}f^2(x)\cdot dx$$
EXEMPLO:
Calcule o volume do sólido obtido com a rotação da região delimitada pelo eixo $Ox$ e o gráfico da função $y=\sec(x)$ com x variando de $0$ a $\pi/4$.
Solução:
- Identificar a função cujo gráfico "cerca" a região por cima: no caso é $f(x)=\sec(x)$.
- Identificar o intervalo [a,b]: no caso é $[0,\pi/4]$, ou seja, $a=0$ e $b=\pi/4$.
- Escrever a integral que calcula o volume. Nesse caso será:
$$\pi\int_{0}^{\pi/4}\sec^2(x)\cdot dx$$
Por último, resolver a integral. Essa competência deve ser adquirida antes, de preferência. Nesse caso teremos:
$$\pi\int_{0}^{\pi/4}\sec^2(x)\cdot dx=\pi\left[\tan(x)\right]_{0}^{\pi/4}=\pi\left[\tan\left(\frac{\pi}{4}\right)-\tan(0)\right]=\pi[1-0]=\pi\,u.v.$$
Veja a região e o sólido modificando os campos nas construções apresentadas no início desta postagem.
Para fechar, que tal ver uma aula completa? É um vídeo com duração de uma hora onde eu falo sobre o que falamos aqui com exemplos e resolução completa dos exercícios.
Gostaria de ver outra ilustração dinâmica com o GeoGebra ou que eu falasse de algum assunto em particular, deixe uma mensagem.
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Um grande abraço
Luís Cláudio LA
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