sábado, 17 de fevereiro de 2018

Teorema Fundamental do Cálculo [parte 1]

Teorema Fundamental do Cálculo [parte 1]

O 1º Teorema Fundamental do Cálculo permite que calculemos o limite de uma soma (particular) usando uma primitiva. Inicialmente, observe a figura presente no nesse applet do GeoGebra SEM interagir com ela.

A largura de cada retângulo é representado por $\Delta x$ e pode ser calculado subtraindo os dois extremos e dividindo pela quantidade de retângulo, ou seja, $\Delta x=\cfrac{b-a}{n}$. O que é chamado de Soma de Riemann é o seguinte.

Dividimos o intervalo [a,b] em "n" partes e para cada uma dessas partes pegamos um ponto $x_i$ (no i-ésimo pedaço). A soma do produto da imagem desses pontos com a largura dos retângulos, ou seja,

$$\displaystyle \sum_{i=1}^{n}f(x_i)\cdot\Delta x$$

é o que chamamos de Soma de Riemann, em homenagem ao alemão Bernhard Riemann. Agora, interaja com o applet mudando os valores de "n", inicialmente. Depois você pode mudar o intervalo modificando os valores de "a", "b" e também modificar a função.

Teorema Fundamental do Cálculo [parte 1]

O fato é que quando a função é contínua (olhando apenas na ótica de um aluno de cálculo) quando se calcula o limite da soma anterior quando n tende a infinito isso SEMPRE se aproximará de um número e esse número será representado pelo símbolo $\displaystyle \int_{a}^{b}f(x).dx$, ou seja, $$\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{n}f(x_i)\cdot\Delta x \begin{array}{c} \\ =\\ Def \end{array}\int_{a}^{b}f(x)\cdot dx$$

Esse número será a área da região que está sob a curva SE a função não assumir nenhum valor negativo no intervalo [a,b]. O que o 2º Teorema Fundamental do Cálculo nos dá uma maneira relativamente simples de encontrar o valor do limite acima.

Ele diz que o limite é o que se obtém ao subtrair uma primitiva de $f$ aplicada no extremo superior do inferior, ou seja, se $F$ é uma primitiva para $f$ então $$\int_{a}^{b}f(x)\cdot dx=F(b)-F(a)$$ Desse modo o problema de se calcular o limite $\int_{a}^{b}f(x)\cdot dc$ fica sendo basicamente o problema de se encontrar a primitiva de $f$. Daí um dos motivos pelos quais estudamos métodos de encontrar primitivas como substituição simples, decomposição em frações parciais, substituição trigonométrica etc.

Veja um exemplo:

$$\int_{0}^{2}x^2\cdot dx={\underbrace{\left[\frac{x^3}{3}\right]_{0}^{2}}_{F(x)}}=\underbrace{\frac{\color{\red}{2}^3}{3}}_{F(2)}-\underbrace{\frac{\color{red}{0}^3}{3}}_{F(0)}=\frac{8}{3}$$

Veja, o problema é saber encontrar a primitiva de $f(x)=x^2$ que nesse caso foi simples. Veja outro exemplo:

$$\int_{0}^{5}x\cdot \sin(x)\cdot dx=\underbrace{[\sin(x)-x\cdot \cos(x)]_{0}^{5}}_{F(x)}=\underbrace{[\sin(\color{red}{5})-\color{red}{5}\cdot \cos(\color{red}{5})]}_{F(5)}-\underbrace{[\sin(\color{red}{0})-\color{red}{0}\cdot \cos(\color{red}{0})]}_{F(0)}\approx -2,37$$

Nesse caso encontrar $F(x)= \sin(x)-x\cdot \cos(x) $ para $f(x)=x\cdot \sin(x)$ já não é imediato. Por isso (também) é que você aprende técnicas de integração. Outro aspecto que se deve observar é o fato do resultado dar um número negativo. É óbvio que esse número já não representa a área e o fato de dar negativo significa que a parte do gráfico que está abaixo do eixo Ox "cerca" uma região maior do que a que está acima.

Lá na primeira figura dessa postagem (que é na verdade um applet do GeoGebra) modifique os campos para ter uma ilustração para essas duas integrais que foram colocadas aqui e entenda melhor o que acabamos de falar sobre número representar ou não área da região entre o gráfico da função e o eixo Ox.

No vídeo seguinte eu falo sobre o 1º Teorema Fundamental do Cálculo. A gravação é antiga e não está das melhores, mas penso que dá para complementar esse texto.





Veja também sobre o 

Teorema Fundamental do Cálculo [parte 2] 

Grande abraço
Luís Cláudio LA

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