Segundo a Oxford Languages um paradoxo é um pensamento, proposição ou argumento que contraria os princípios básicos e gerais que costumam orientar o pensamento humano, ou desafia a opinião consabida, a crença ordinária e compartilhada pela maioria.
Vamos ver de que a formiguinha acima está falando... Há um tempo atrás um professor chamado Richard Gagnon me propôs o problema que julgo ser algo que se encaixa na definição
acima e eu relatarei o problema a seguir.
Considere uma formiga que está no ponto A=(1,0) e quer ir até um ponto B=(0,1), como mostra a Figura (a) a seguir.
Uma das forma de fazer esse trajeto é ir até a origem (0,1) e depois ir até o ponto B=(1,0), como mostra a Figura (b), logo acima. Neste caso, a distância percorrida seria de 2 unidades, certo?
Excelente... Agora suponha que a formiga faça uma parada em (0,5; 1), vai até o ponto (0,5; 0,5), depois para o ponto (1; 0,5) e depois para o ponto (0,1). Este caminho está marcado na Figura (a) seguinte. Vamos usar vermelho para marcar a caminhada horizontal e azul para a caminhada vertical. Qual foi a distâncias a formiga percorreu em (a) na figura seguinte? Duas unidades, certo? Uma outra escolha poderia ser a seguinte caminhada: (0;1) ⍈ (0,25;1) ⍗ (0,25;0,75) ⍈ (0,50;0,75) ⍗ (0,50;0,50) ⍈ (0,75;0,50) ⍗ (0,75;0,25) ⍈ (1;0,25) ⍗ (1;0). Essa caminhada está representada na Figura (b) a seguir.
Observe que a distância percorrida em (b) na figura anterior continua sendo de duas unidades. A soma dos segmentos azuis e vermelhos são sempre iguais a 2. Se aumentarmos o número de divisões que fazemos no intervalo [0,1] teremos esse caminho cada vez mais próximo de uma reta que liga os pontos (0,1) ao ponto (1,0). Na figura seguinte há uma ilustração em que o intervalo é dividido em 150 partes.
Se clicar na figura ou
NESTE LINK poderá interagir com uma construção dinâmica em que pode ver várias outras situações ilustrativas.
Mas, até neste caso, podemos ver a caminhada como uma soma de segmentos azuis com segmentos vermelhos em que a soma dos azuis dará 1 e a soma dos vermelhos dará 1 também e assim a distância percorrida será, novamente de 2 unidades. Entretanto, essa caminhada nos leva, no limite, a uma reta que une os pontos (0,1) e (1,0) e esse comprimento é conhecido, pois é a hipotenusa de um triângulo retângulo isósceles em que os catetos medem 1 unidade. Assim, pelo Teorema de Pitágoras, a hipotenusa mede $\sqrt{2}$.
Ué... Mas como isso é possível? Por um lado a caminhada, vista como segmentos azuis e vermelhos, dará sempre 2 unidades, mas por outro, no limite temos um segmento de comprimento $\sqrt{2}$.
Estranho, não? Bom, eu não vou postar aqui o que já pensei sobre esse problema. Quero ouvir (ler) sugestões para explicar esse aparente paradoxo. ;-)
Abração pro 6
Luís Cláudio LA
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