Nesta postagem vamos entender pode fazer para construir sólidos de revolução com o GeoGebra. Como vamos fazer uso de matrizes de rotação na parametrização, acreditamos que seja algo que pode ser usado em aulas de Álgebra Linear ou Geometria Analítica (dependendo de onde é ensinado a trabalhar com matrizes de rotação).
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O que é um sólido de revolução?
Em palavras simples, um sólido de revolução é o sólido que se obtém quando giramos a região delimitada por duas curvas (uma delas pode ser uma reta, como o Eixo Ox ou Oy) em torno de um eixo, chamado Eixo de rotação.
Em Álgebra Linear geralmente, em algum momento, estudamos matrizes de rotação e nada melhor do que colocar em prática aquele conhecimento para escrever uma parametrização para uma superfície de revolução (que é o que temos quando olhemos só para a curva que será rotacionada.
É sério... :-) Usar essas parametrizações pode ajudar o estudante a entender melhor o que ele está estudando quando se trata de matrizes de rotação.
Vamos considerar uma situação como a mostrada na figura seguinte.
Vamos considerar uma situação como a mostrada na figura seguinte.
Considerando O como a origem, o eixo Ox é o vermelho, o Oy é o verde e o Oz é o azul.[/caption]
No caso do exemplo mostrado na figura anterior, temos uma curva no plano yz, logo, a abscissa é 0. Nesse caso em particular estamos usando a função $z=cos(y)+y$ e para produzir esta curva 3D no GeoGebra escrevemos no Campo de Entrada
Curva[0, t, cos(t) + t, t, 0, 4]
Acesse a construção mostrada na figura anterior CLICANDO AQUI.
Note a partir daí que um ponto qualquer sobre esta curva tem a forma (0, t, cos(t)+t). Vamos fazer algumas considerações a respeito da rotação em torno dos eixos.
Matrizes de Rotação
Não vamos entrar no mérito do porquê destas matrizes ser como são. Podemos fazer isso em outro momento. Vamos imaginar que você está estudando esse assunto em Álgebra Linear ou Geometria Analítica e quer ver o que está estudando fazendo, de fato, algo ser rotacionado. Para isso, vamos relembrar como são cada uma das matrizes e ver ao menos uma delas trabalhando a serviço de uma parametrização de uma superfície de revolução.Então, vamos relembrar que para um t qualquer, (x(t), y(t), z(t)) é um vetor e a matriz da transformação linear que gira esse vetor em torno do eixo Ox um ângulo $\beta$ no sentido anti-horário é
$$\left( \begin{array}{ccc}
1 & 0&0 \\
0 & \cos(\beta)&-\sin(\beta)\\
0 &\sin(\beta)&\cos(\beta)
\end{array} \right)$$
e para girar em torno do eixo Oy
$$\left( \begin{array}{ccc}
\cos(\beta)&0 & -\sin(\beta)\\
0 & 1&0 \\
\sin(\beta)&0 &\cos(\beta)
\end{array} \right)$$
e finalmente para girar em torno do eixo Oz a matriz de rotação é
$$\left( \begin{array}{ccc}
\cos(\beta)&-\sin(\beta)&0\\
\sin(\beta)&\cos(\beta) &0\\
0 & 0&1
\end{array} \right)$$
É simples assim... :-)
Rotacão de um ponto em torno de um eixo
É só disso que precisa para a parametrização de uma superfície de revolução. Vamos produzir uma ilustração fazendo com que um ponto específico seja rotacionado. Pense em um ponto A sobre a curva mostrada na figura anterior. Então esse ponto/vetor tem coordenadas (x(A),y(A),z(A)), correto? Se queremos rotacionar esse vetor um ângulo $\beta$ em torno do eixo Oy então no novo vetor terá coordenadas$$\left( \begin{array}{ccc}
\cos(\beta)&0 & -\sin(\beta)\\
0 & 1&0 \\
\sin(\beta)&0 &\cos(\beta)
\end{array} \right).
\left( \begin{array}{c}
x(A)\\
y(A) \\
z(A)
\end{array} \right)$$
Ao multiplicarmos essas matrizes encontraremos
$$(x(A) \cos(\beta) - z(A) \sin(\beta), y(A), x(A) \sin(\beta) + z(A) \cos(\beta))$$
Esse é o comando que deve escrever no Campo de Entrada do GeoGebra para obter um novo ponto obtido girando um ângulo $\beta$ em torno do Eixo Oy.
Ao arrastar o controle deslizante $\beta$ você verá o ponto A girar ao redor do eixo Oy.[/caption]
Veja essa ilustração adicionada do vetor e um seletor para controlar a medida de $\beta$ acessando ESTA CONSTRUÇÃO.
Rotacão de uma curva parametrizada
E o que muda para rotacionar a curva toda? Praticamente nada. Se a curva tem parametrizaçao (x(t), y(t),z(t)) então a parametrização da superfície de revolução para a rotação em torno do eixo Oy pode ser obtida do seguinte modo$$\left( \begin{array}{ccc}
\cos(\beta)&0 & -\sin(\beta)\\
0 & 1&0 \\
\sin(\beta)&0 &\cos(\beta)
\end{array} \right).
\left( \begin{array}{c}
x(t)\\
y(t) \\
z(t)
\end{array} \right)$$
Vamos tomar como exemplo a curva dada no início deste artigo. A parametrização da curva era (0,t,cos(t)+t) e assim, para girar essa curva em torno do eixo Oy precisamos encontrar
$$\left( \begin{array}{ccc}
\cos(\beta)&0 & -\sin(\beta)\\
0 & 1&0 \\
\sin(\beta)&0 &\cos(\beta)
\end{array} \right).
\left( \begin{array}{c}
0\\
t \\
\cos(t)+t
\end{array} \right)$$
Multiplicando essas matrizes encontraremos
$$(-\sin(\beta).(\cos(t)+t),\; t\; ,\cos(\beta).(\cos(t)+t))$$
Note que temos duas variáveis. O comando do GeoGebra que gera superfície tem a seguinte estrutura:
Superfície[ <Expressão>, <Expressão>, <Expressão>, <Variável 1>, <Valor Inicial>, <Valor Final>, <Variável 2>, <Valor Inicial>, <Valor Final> ]
Usando $b$ no lugar de $\beta$ a parametrização da superfície ficará assim (digite no Campo de Entrada):
Superfície[-sin(b)*(cos(t)+t),t,cos(b)*(cos(t)+t),t,0,4,b,0,2*pi ]
Note que estamos fazendo $0\leq t\leq 4$ e $0\leq b \leq 2\pi$. O resultado será o que vê a seguir e pode ver e modifica a visualização segurando o botão direito clicado e arrastando. Para acessar a construção mostrada na figura seguinte, basta CLICAR AQUI.
Note que a superfície está "aberta". Podemos considerar também uma parametrização para a tampa e o fundo desta superfície, mas para que esta pequena nota não fique muito extensa, vamos deixar isso para uma outra postagem.
Esse assunto geralmente é estudado em ensino superior em livros de cálculo, como o que vê a seguir, escrito por este que vos fala e pelo saudoso professor Geraldo Ávila
Clique sobre a figura para acessar detalhes do livro
Neste livro não tratamos de sólidos de revolução, mas de vários assuntos que são geralmente estudados no início do curso de Cálculo 1.
Grande Abraço
Luís Cláudio LA
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