terça-feira, 5 de maio de 2020

Por que menos com menos dá mais?

Por que o produto de dois números negativos é um número positivo?
Vários estudantes fazem essa pergunta aos seus professores e é o que vamos tentar responder nesta postagem. Como alguns alunos às vezes têm dificuldade em entender uma manipulação algébrica, vamos desenvolver primeiramente uma multiplicação entre dois números inteiros negativos conhecidos e depois veremos um caso geral.

Por que menos com menos dá mais?

Multiplicação de dois números inteiros negativos

Considere dois números inteiros particulares: $(-2)$ e $(-3)$. Vamos tomar por conhecido o seguinte:
  • Propriedade Distributiva: $a.(b+c)=a.b+a.c$
  • Princípio aditivo da igualdade: se $a=b$ então $a+C=b+C$
Primeiro note que $$(-2).3=3.(-2)=(-2)+(-2)+(-2)=-2-2-2=-6$$ ou seja, temos um caso particular de  produto de um número positivo com um número negativo dando um número negativo (como era de se esperar).

Perceba agora que $-2\cdot 0=0$ e como $3-3=0$ podemos escrever $-2\cdot (3-3)=0$ de onde vem, pela propriedade distributiva $-2\cdot 3+(-2)(-3)=0$. Como já vimos, $-2\cdot 3=-6$ e desse modo $$-6+(-2)(-3)=0.$$ Adicionando 6 aos dois membros teremos $$-6\color{red}{+6}+(-2)(-3)=0\color{red}{+6}\Leftrightarrow (-2)\cdot(-3)=6$$ Com isso mostramos que o produto desses dois números negativos dará um número positivo.

Caso Geral: dois números reais negativos

Vamos agora a ao caso mais geral. Considere que $x$ e $y$ sejam dois números reais positivos. Queremos mostrar que $(-x)\cdot(-y)=x\cdot y$.

Note primeiramente que $x\cdot (-y)=-xy$, pois como $x\cdot 0=0$ e $y-y=0$, então, pela propriedade distributiva, $x\cdot y+x\cdot (-y)=0$. Agora, pelo princípio aditivo, se subtrairmos o termo $x\cdot y$ em ambos os membros teremos $$x\cdot y\color{red}{-x\cdot y}+x\cdot (-y)=0\color{red}{-x\cdot y}$$ Cancelando os termos opostos no primeiro membro (os dois da esquerda) teremos $$+x\cdot (-y)=-x\cdot y$$ que mostra que o produto de um número positivo com um número negativo é o oposto do produto dos seus módulos (o número sem o sinal... Tudo bem, módulo é algo mais geral, mas vamos pensar desse modo por momento).

Agora, perceba que $-x\cdot 0 = 0$ e desse modo, como $y+(-y)=0$, podemos escrever $-x\cdot (y+(-y))=0$ de onde vem (por conta da propriedade distributiva) $-x\cdot y+(-x)\cdot(-y)=0$. Adicionando nesta última igualdade o termo $\color{red}{x\cdot y}$ ficaremos com
$$-x\cdot y\color{red}{+x\cdot y}-x\cdot(-y)=0\color{red}{+x\cdot y}$$ Cancelando os termos opostos que estão no primeiro membro ficaremos com $$-x\cdot (-y)=x\cdot y$$ ou seja, ao multiplicarmos dois números negativos encontramos um número positivo, pois lá no início da seção a uma das primeiras coisas que dissemos foi que $x$ e $y$ eram números reais positivos. ;-)

Então, o produto de um número negativo com um número positivo é negativo e o produto de dois números negativos é um número positivo. ;-D

Um raciocínio mais simples ainda...

Observe que $(-1)\cdot 0=0$, certo? Então $(-1)(-1+1)=0$ e assim, usando a propriedade distributiva, $(-1)\cdot (-1)+1\cdot (-1))=0$. Como 1 é elemento neutro na multiplicação,   $(-1)\cdot (-1)+(-1))=0$. Só há uma forma dessa soma ser zero. Se $(-1)\cdot (-1)=+1$ e temos novamente o resultado pois se assim for, para $x>0$ e $y>0$,  $$(-x)\cdot(-y)=(-1)\cdot x\cdot(-1)\cdot y)=(-1)(-1)\cdot x \cdot y=x\cdot y.$$

Grande abraço
Luís Cláudio LA


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